hihocoder#1369 : 网络流算法的一些小结

一道最大流模板水题,借这道题来学习一下最大流的几个算法。

分别用Edmond-Karp，Dinic ，SAP来实现最大流算法。

从运行结过来看明显SAP+当前弧优化+gap优化速度最快。

 

hihocoder #1369 : 网络流一·Ford-Fulkerson算法

原题网址：http://hihocoder.com/problemset/problem/1369

网络流一·Ford-Fulkerson算法

时间限制:10000ms   单点时限:1000ms   内存限制:256MB

问题描述

小Hi和小Ho住在P市，P市是一个很大很大的城市，所以也面临着一个大城市都会遇到的问题：交通拥挤。

小Ho：每到周末回家感觉堵车都是一种煎熬啊。

小Hi：平时交通也还好，只是一到上下班的高峰期就会比较拥挤。

小Ho：要是能够限制一下车的数量就好了，不知道有没有办法可以知道交通系统的最大承受车流量，这样就可以限制到一个可以一直很顺畅的数量了。

小Hi：理论上是有算法的啦。早在1955年，T.E.哈里斯就提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的问题。并且由此产生了一个新的图论模型：网络流。

小Ho：那具体是啥？

小Hi：用数学的语言描述就是给定一个有向图G=(V,E)，其中每一条边(u,v)均有一个非负数的容量值，记为c(u,v)≥0。同时在图中有两个特殊的顶点，源点S和汇点T。

举个例子：

                                    

其中节点1为源点S，节点6为汇点T。

我们要求从源点S到汇点T的最大可行流量，这个问题也被称为最大流问题。

在这个例子中最大流量为5，分别为：1→2→4→6，流量为1；1→3→4→6，流量为2；1→3→5→6，流量为2。

小Ho：看上去好像挺有意思的，你让我先想想。

提示：Ford-Fulkerson算法

输入

第1行：2个正整数N,M。2≤N≤500，1≤M≤20,000。

第2..M+1行：每行3个整数u,v,c(u,v)，表示一条边(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤N，0≤c(u,v)≤100。

给定的图中默认源点为1，汇点为N。可能有重复的边。

输出

第1行：1个整数，表示给定图G的最大流。

样例输入

    6 7

    1 2 3

    1 3 5

    2 4 1

    3 4 2

    3 5 3

    4 6 4

    5 6 2

样例输出

    5

 

一、Ford-Fulkerson算法

算法讲解与图片均摘自：http://hihocoder.com/contest/hiho115/problem/1

设f(u,v)实际流量，c(u,v)为每条路径的容量。

整个图G的流网络满足3个性质：

1. 容量限制：对任意u,v∈V，f(u,v)≤c(u,v)。

2. 反对称性：对任意u,v∈V，f(u,v) = -f(v,u)。

3. 流守恒性：对任意u，若u不为S或T，一定有∑f(u,v)=0，(u,v)∈E。

对于上面例子中的图，其对应的实际流量f网络图为：

                                    

其中绿边表示例子中每条边实际使用的流量f(u,v)，虚线表示实际不存在的边(v,u)。

在此基础上，假设我们用cf(u,v)来表示c(u,v)-f(u,v)，则可以表示每一条边还剩下多少的流量可以使用，我们称为残留容量。

假设一条边(u,v)，其容量为3，即c(u,v)=3，由于边(u,v)单向，(v,u)容量为0，c(v,u)=0。

使用了流量f(u,v)=2（同时有f(v,u)=-2）

则可以表示为：cf(u,v)= c(u,v)-f(u,v)=1,  cf(v,u)= c(v,u)- f(v,u)=2。

由cf(u,v)构成的图我们称为残留网络。

比如例子中的残留网络图为:

                                    

残留网络表示还可以使用的流量。

如果能从残留网络中找出一条从S到T的路径p，使得路径p上所有边的cf(u,v)都大于0，假设路径p上最小的cf(u,v)等于k，就可以使得S到T增加k的流量。

通过该条路径p使得图G的最大流得到了增加，这样的路径p被称为增广路径。

 

Ford-Fulkerson算法的流程：

1. 将最初的图G转化为残留网络。

2. 在残留网络上寻找增广路径。

l  若存在增广路径，最大流量增加，同时对增广路径上的边cf(u,v)进行修改（总流量增加，路径上各边容量相应减少，反向边容量相应增加），再重复寻找增广路径。

l  若不存在增广路径，则这个图不能再增加流量了，得到最大流。

Ford-Fulkerson算法确定了解决最大流问题的基本思路，接下来的关键就是算法的实现，如何寻找增广路并实现路径的修改。

 

二、Edmond-Karp算法

Edmond-Karp算法的思路其实就是Ford-Fulkerson算法。

Edmond-Karp流程：

1. 将最初的图G转化为残留网络。

2. 使用BFS反复寻找源点到汇点之间的增广路径。

若存在增广路径，对路径上的流量进行相应修改（总流量增加，路径上各边容量相应减少，反向边容量相应增加）。

3. 找不到增广路时，当前的流量就是最大流。

#include <algorithm>#include <cstring>#include <string.h>#include <iostream>#include <list>#include <map>#include <set>#include <stack>#include <queue>#include <string>#include <utility>#include <vector>#include <cstdio>#include <cmath>#define LL long long#define N 40005using namespace std;const int maxn=505;const int inf=0x7fffffff; struct Edge{     int u,v,c;     int next; }edge[N];  int cnt;//边数 int head[N]; void addedge(int u,int v,int c) {     edge[cnt].u=u; edge[cnt].v=v; edge[cnt].c=c; //正向边初始化为容量     edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++;     edge[cnt].u=v; edge[cnt].v=u; edge[cnt].c=0; //反向边容量初始化为0     edge[cnt].next=head[v]; head[v]=cnt++; }bool visit[maxn]; // 记录结点i是否已访问int pre[maxn]; //记录路径int m,n;int source,sink; //源点，汇点bool bfs()  //寻找从源点到汇点的增广路，若找到返回true{    queue<int>q;    memset(pre,-1,sizeof(pre));    memset(visit,false,sizeof(visit));     pre[source]=-1;    visit[source]=true;    q.push(source);    while(!q.empty())    {        int u=q.front();        q.pop();        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)        {            int v=edge[i].v;            if(edge[i].c>0&&!visit[v])            {                pre[v]=i;                visit[v]=true;                if(v==sink) return true;  //存在增广路                q.push(v);            }        }    }    return false;}int Edmond_Karp(){   int maxflow=0;   int delta;   while(bfs())      //反复在源点到汇点间寻找增广路   {       delta=inf;       int i=pre[sink];       while(i!=-1)        {            delta=min(delta,edge[i].c);   //路径上最小的容量为流量增量            i=pre[edge[i].u];        }        i=pre[sink];       while(i!=-1)        {            // 路径上各边容量相应减少，反向边容量相应增加，总流量增加            edge[i].c-=delta;   //增广路上的边减去使用的容量            edge[i^1].c+=delta;  //同时相应的反向边增加残余容量            i=pre[edge[i].u];        }       maxflow+=delta;   }   return maxflow;}int main(){    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)    {        int u,v,w;        memset(head,-1,sizeof(head));        for(int i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            addedge(u,v,w);        }        source=1,sink=n;        printf("%d\n",Edmond_Karp());    }    return 0;}

三、Dinic算法 

Dinic算法的流程：

       利用BFS对残余网络分层。每个节点的层数就是源点到这个节点经过的最少边数。

       用DFS 寻找增广路。DFS每向下走一步必到达层数+1的节点，（标记满足dep[v]=dep[u]+1的边（u,v）为允许弧，增广路只走允许弧）。

       找到增广路并相应修改后，回溯后继续寻找增广路，回溯到源点且无法继续，DFS结束

       重复以上过程直到BFS分层到达不了汇点，结束。

Dinic算法《北京大学ACM暑期课讲义-网络流》讲的挺清楚的

#include <algorithm>#include <cstring>#include <string.h>#include <iostream>#include <list>#include <map>#include <set>#include <stack>#include <queue>#include <string>#include <utility>#include <vector>#include <cstdio>#include <cmath>#define N 40005using namespace std;int const inf = 0x3f3f3f3f;int const MAX = 505; struct Edge{     int u,v,c;     int next; }edge[N];  int cnt;//边数 int head[N];  void addedge(int u,int v,int c) {     edge[cnt].u=u; edge[cnt].v=v; edge[cnt].c=c;     edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++;     edge[cnt].u=v; edge[cnt].v=u; edge[cnt].c=0;     edge[cnt].next=head[v]; head[v]=cnt++; }int n, m;int dep[MAX];  //分层int source,sink; //源点，汇点int bfs()//BFS对残余网络分层{    queue<int> q;    while(!q.empty())        q.pop();    memset(dep, -1, sizeof(dep));    dep[source] = 0; //源点层数初始化为0    q.push(source);    while(!q.empty()){        int u = q.front();        q.pop();        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){                int v=edge[i].v;                if(edge[i].c> 0 && dep[v] == -1)                {                    dep[v] = dep[u] + 1;                    q.push(v);                }            }    }    return dep[sink] != -1;  //BFS分层是否能到达汇点}int dfs(int u, int delta)//DFS 寻找增广路,一次DFS可以寻找多条增广路{    if(u == sink)  //找到增广路        return delta;    int flow=0;    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){            int v=edge[i].v;            if(edge[i].c> 0 && dep[v] == dep[u] + 1){  //dfs从前一层向后一层寻找增广路                int tmp = dfs(v, min(delta-flow, edge[i].c));                // 路径上各边容量相应减少，反向边容量相应增加，总流量增加                edge[i].c -= tmp;                edge[i^1].c+= tmp;                flow+=tmp;            }        }    if(!flow) dep[u]=-1*inf;    return flow;}int dinic(){    int ans = 0, tmp;    while(bfs()){        while(1){            tmp = dfs(1, inf);            if(tmp == 0)                break;            ans += tmp;        }    }    return ans;}int main(){    while(~scanf("%d %d", &n, &m)){        cnt=0;        memset(head,-1,sizeof(head));        int u, v, c;        while(m--){            scanf("%d %d %d", &u, &v, &c);            addedge(u,v,c);        }        source=1,sink=n;        printf("%d\n", dinic());    }    return 0;}

四、SAP 算法

 

基础思路还是残余网络分层，寻找增广路。和Dinic思路类似。

不过SAP分层只需要反向BFS一次。

关键在于Gap优化，当前弧优化。

Gap优化：

gap[i]表示dep[x]=i节点的个数。

如果一次重标号时，出现gap[i]=0，即出现断层，则源点到汇点之间出现断路，到达不了，结束算法。

当前弧优化：

对于每个点保存“当前弧”。

当前弧初始化是邻接表的第一条弧，即head[i]，查找边的过程中找到一条允许弧，允许弧设为当前弧。

搜索边的过程从当前弧开始搜，因为可以保证每个点当前弧之前的边都不是允许弧。

代码参考：http://blog.csdn.net/sprintfwater/article/details/7913181

#include <algorithm>#include <cstring>#include <string.h>#include <iostream>#include <list>#include <map>#include <set>#include <queue>#include <string>#include <utility>#include <vector>#include <cstdio>#include <stdio.h>#include <cmath>#define LL long long#define N 40005using namespace std;const int maxn=505;const int inf=0x7fffffff; struct Edge{     int u,v,c;     int next; }edge[N];  int cnt; int head[N]; void addedge(int u,int v,int c) {     edge[cnt].u=u; edge[cnt].v=v; edge[cnt].c=c;     edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++;     edge[cnt].u=v; edge[cnt].v=u; edge[cnt].c=0;     edge[cnt].next=head[v]; head[v]=cnt++; }int m,n;int source,sink; //源点，汇点int gap[maxn]; //gap优化int dep[maxn]; //层数int cur[maxn]; //当前弧优化int path[maxn]; //用一个栈储存增广路路径void rev_bfs()  //对残余网络逆向分层{    memset(dep,-1,sizeof(dep));    memset(gap,0,sizeof(gap));    queue<int>q;    dep[sink]=0;  //汇点sink的深度为0    gap[0]=1; // 层数为0的点有1个    q.push(sink);    while(!q.empty())    {        int u=q.front();        q.pop();        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)        {            int v=edge[i].v;            if(edge[i^1].c>0&&dep[v]==-1)            {                q.push(v);                dep[v]=dep[u]+1;                gap[dep[v]]++;            }        }    }}int SAP()    {        rev_bfs(); //只需要bfs分层一次，之后的层数更新不用重新bfs     //   for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dep[i]<<endl;       memcpy(cur, head,sizeof(cur)); //当前弧初始化是邻接表的第一条弧，即head[i]        int maxflow = 0;        int u=source;        int top=0;        int i;        while (dep[source] < n)  //最大的层数只会是n，如果大于等于n说明中间已经断层了        {            if (u==sink)  //找到了一条增广路，则沿着增广路修改流量            {                int delta=inf;                int flag=n;  //flag记录增广路上容量最小的边                for (i=0; i!=top; i++){                    if (delta>edge[path[i]].c)                    {                        delta=edge[path[i]].c;                        flag=i;                    }                }                for (i=0;i!=top;i++) // 路径上各边容量相应减少，反向边容量相应增加，总流量增加                {                    edge[path[i]].c-=delta;                    edge[path[i]^1].c+=delta;                }                maxflow += delta;                top = flag; //回溯到流量恰好变为0的最上层节点,继续寻找增广路                u = edge[path[top]].u;            }           for (i = cur[u]; i != -1; i = edge[i].next)            {                int v=edge[i].v;                if (edge[i].c>0 && dep[u]==dep[v]+1) break;            }           if (i!=-1) //找到一条允许弧           {               cur[u]=i; //允许弧设为当前弧               path[top++]=i;               u=edge[i].v;           }           else //找不到允许弧，重新分层，再寻找增广路           {               //对u节点层数进行修改                if (--gap[dep[u]] == 0)  break;// gap优化，如果出现断层，结束算法                 int mind = n+1;                for (i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)  //寻找可以增广的最小层数                {                    if (edge[i].c>0 && mind>dep[edge[i].v])                        {                            mind=dep[edge[i].v];                            cur[u]=i; //允许弧设为当前弧                        }                }                dep[u]=mind+1; //更新层数                gap[dep[u]]++;              u=(u==source)? u : edge[path[--top]].u; //回溯            }        }        return maxflow;    }int main(){    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        int u,v,w;        cnt=0;        memset(head,-1,sizeof(head));        for(int i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            addedge(u,v,w);        }        source=1,sink=n;        printf("%d\n",SAP());    }    return 0;}