【算法概论习题】8.8解答

题目：

  在精确的4SAT（EXACT 4SAT)问题中，输入为一组子句，每个字句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。

解答：

在证明精确的4SAT问题是NP-完全问题前，先得证明其属于NP问题。因为EXACT 4SAT和SAT相同，在多项式时间内可以显然地给出一个解得以验证，所以我们说这个问题是NP的。
接下来我们通过把3SAT问题归约到EXACT 4SAT问题来证明EXACT 4SAT问题为NP-完全问题。首先，对于任意一个3SAT问题，若子句中包含同一文字多次，我们把这些重复的缩减为一次。然后，若子句中同时包含某一个文字以及其否定，那么我们把两者同时消去。最后，在简化后的子句中我们添加一些无关的辅助变量（哑变量），使得每个子句包含的文字数目为4个。这样，3SAT问题就能归约成EXACT 4SAT问题。而我们能知道3SAT问题就是一个NP-完全问题。因此EXACT 4SAT问题也是一个NP-完全问题。