《算法概论》习题解答 8.10

8.10 证明以下问题是某些NP完全问题的一般化，以此证明该问题也是NP完全的。
证明思路是将问题中的某些条件特殊化，并证明特例与某些NP完全问题相同。

(a)判断一个无向图G是否为另一个无向图H的子图。
A：令图G是一个环，而且G和H的顶点数相同。那么如果G是H的子图，H中必然存在Rudrata回路。因此求解这个问题相当于求解图H的Rudrata回路，因此问题(a)是NP完全的。

(b)找出一个图G中长度为g的简单路径。
A：令g=结点数-1，那么问题就变成找出图G的Rudrata路径，因此问题(b)是Rudrata路径的一般化，也是NP完全的。

(c)找出一个真赋值，使其满足给定的CNF其中至少g个子句。
A：令g=CNF的子句数，那么问题就变成SAT问题，因此问题(c)是SAT问题的一般化，也是NP完全的。

(d)给定整数值a、b，找出G的一个子图，使其恰好a个结点且至少有b条边。
A：令b=a*(a-1)/2，那么问题就变成找出G中结点数为a的团，因此问题(d)是NP完全的。

(e)给定整数值a、b，找出G的一个子图，使其恰好a个结点且至多有b条边。
A：令b=0，那么问题就变成找出G中结点数为a的独立集，因此问题(e)是NP完全的。

(f)集合覆盖问题。
A：令集合U为图G的所有边组成的集合，令集合S为n个集合的集合，这n个集合分别是以图G每个结点所出发的所有边组成的集合，显然它们都是U的子集。那么对于U和S的集合覆盖问题就相当于找出图G的最小顶点覆盖问题，因此问题(f)是NP完全的。

(g)给定两个矩阵，依次为距离矩阵和连接需求矩阵，以及预算b，找出一个图G，使得其中所有边的总代价不超过b，并且在任意两个不同的结点i和j之间，存在rij条结点互不相交的路径。
A：对于距离矩阵，如果两个结点有边相连，设距离为1，否则为2；对于连接矩阵，设为2；最后设b为结点个数，那么求解这个问题相当于求解图G的TSP问题，因此问题(g)是NP完全的。