Fenwit FWT+数论

题意

分析

这题好神啊！！！

这题大概题意就是说给出一个数组f,设c[i,j]=b[cnt(i^j)]，那么答案就是f∗cT。
但这么做显然只有20分，而这20分是只要暴力就可以拿到的。

我们可以重新定义c[i]=b[cnt(i)]，那么显然有fi+1[i]=∑fi[j]∗c[k](j异或k==i)，我们把这种运算定义为⊕运算。那么答案就是f0⊕cT。由于⊕运算是满足结合律的，于是我们可以先算出cT。
那如何快速计算⊕呢？FWT！！！
FWT就是专门解决快速类似进行⊕运算之类的问题，可以把异或换成与，或之类的二进制运算。
FWT写起来与fft类似，比fft更简洁一点，我觉得介绍FWT比较好的博文是这篇和这篇。至于要自己推一遍的话，这个坑就留着改天再补好了。

有了FWT这个神器之后，再回到这题。现在问题在于如何计算cT。由于FWT的性质，我们只用对c做一次FWT变换，然后把变换后的c点乘T次就好了。这里由于T比较大，可以用到欧拉定理EXT：ax≡axmodφ(p)+φ(p)(modp)（必须满足x>=φ(p)）>
又注意到在做逆FWT变换的时候，由于有/2运算，而由于模数不确定，所以不一定存在逆元。那么我们可以在做完逆FWT变换后再除以2m而不是在做逆FWT时/2.由于这么做相当于把答案*2m，所以模数也要相应地乘上2^m。

这样就可以切掉这题啦啦啦！！！

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N=300005;int n,m,p,bin[20];char ch[1005];LL c[N],f[N],b[N],phip,t;int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}LL READ(LL mo){    scanf("%s",ch);int flag=0,len=strlen(ch);LL now=0;    for (int i=0;i<len;i++)    {        now=now*10+ch[i]-'0';        if (now>=mo) flag=1;        now%=mo;    }    if (flag) return now+mo;    else return now;}LL mul(LL x,LL y,LL mo){    LL tmp=(x*y-(LL)((double)x*y/mo+0.1)*mo)%mo;    if (tmp<0) tmp+=mo;    return tmp;}LL ksm(LL x,LL y,LL mo){    LL ans=1;    while (y)    {        if (y&1) ans=mul(ans,x,mo);        x=mul(x,x,mo);y>>=1;    }    return ans;}int cnt(int x){    int ans=0;    while (x) ans++,x-=x&(-x);    return ans;}int get_phi(int n){    int w=n,tmp=n;    for (int i=2;i*i<=n;i++)        if (tmp%i==0)        {            w=w/i*(i-1);            while (tmp%i==0) tmp/=i;        }    if (tmp>1) w=w/tmp*(tmp-1);    return w;}void fwt(LL *a,int n,LL mo){    for (int i=1;i<n;i<<=1)        for (int j=0;j<n;j+=(i<<1))            for (int k=0;k<i;k++)            {                LL x=a[j+k],y=a[j+k+i];                a[j+k]=(x+y)%mo;a[j+k+i]=(x-y+mo)%mo;            }}void dwt(LL *a,int n,LL mo){    for (int i=1;i<n;i<<=1)        for (int j=0;j<n;j+=(i<<1))            for (int k=0;k<i;k++)            {                LL x=a[j+k],y=a[j+k+i];                a[j+k]=(x+y)%mo;a[j+k+i]=(x-y+mo)%mo;            }}int main(){    m=read();p=read();    bin[0]=1;    for (int i=1;i<=m;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;    phip=get_phi(p);    if (p%2==0) phip=(LL)phip*bin[m];    else phip=(LL)phip*bin[m-1];    t=READ(phip);    for (int i=0;i<bin[m];i++) f[i]=read();    for (int i=0;i<=m+1;i++) b[i]=read();    for (int i=0;i<bin[m];i++) c[i]=b[cnt(i)];    fwt(c,bin[m],(LL)p*bin[m]);    fwt(f,bin[m],(LL)p*bin[m]);    for (int i=0;i<bin[m];i++) c[i]=ksm(c[i],t,(LL)p*bin[m]);    for (int i=0;i<bin[m];i++) f[i]=mul(f[i],c[i],(LL)p*bin[m]);    dwt(f,bin[m],(LL)p*bin[m]);    for (int i=0;i<bin[m];i++) printf("%lld\n",f[i]/bin[m]);    return 0;}