[bzoj4196][树链剖分][Noi2015]软件包管理器

4196: [Noi2015]软件包管理器

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Description

Linux用户和OSX用户一定对软件包管理器不会陌生。通过软件包管理器，你可以通过一行命令安装某一个软件包，然后软件包管理器会帮助你从软件源下载软件包，同时自动解决所有的依赖（即下载安装这个软件包的安装所依赖的其它软件包），完成所有的配置。Debian/Ubuntu使用的apt-get，Fedora/CentOS使用的yum，以及OSX下可用的homebrew都是优秀的软件包管理器。

你决定设计你自己的软件包管理器。不可避免地，你要解决软件包之间的依赖问题。如果软件包A依赖软件包B，那么安装软件包A以前，必须先安装软件包B。同时，如果想要卸载软件包B，则必须卸载软件包A。现在你已经获得了所有的软件包之间的依赖关系。而且，由于你之前的工作，除0号软件包以外，在你的管理器当中的软件包都会依赖一个且仅一个软件包，而0号软件包不依赖任何一个软件包。依赖关系不存在环（若有m(m≥2)个软件包A1,A2,A3,…,Am，其中A1依赖A2，A2依赖A3，A3依赖A4，……，Am−1依赖Am，而Am依赖A1，则称这m个软件包的依赖关系构成环），当然也不会有一个软件包依赖自己。
现在你要为你的软件包管理器写一个依赖解决程序。根据反馈，用户希望在安装和卸载某个软件包时，快速地知道这个操作实际上会改变多少个软件包的安装状态（即安装操作会安装多少个未安装的软件包，或卸载操作会卸载多少个已安装的软件包），你的任务就是实现这个部分。注意，安装一个已安装的软件包，或卸载一个未安装的软件包，都不会改变任何软件包的安装状态，即在此情况下，改变安装状态的软件包数为0。
Input

输入文件的第1行包含1个正整数n，表示软件包的总数。软件包从0开始编号。

随后一行包含n−1个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，分别表示1,2,3,…,n−2,n−1号软件包依赖的软件包的编号。
接下来一行包含1个正整数q，表示询问的总数。
之后q行，每行1个询问。询问分为两种：
installx：表示安装软件包x
uninstallx：表示卸载软件包x
你需要维护每个软件包的安装状态，一开始所有的软件包都处于未安装状态。对于每个操作，你需要输出这步操作会改变多少个软件包的安装状态，随后应用这个操作（即改变你维护的安装状态）。
Output

输出文件包括q行。

输出文件的第i行输出1个整数，为第i步操作中改变安装状态的软件包数。
Sample Input

7

0 0 0 1 1 5

5

install 5

install 6

uninstall 1

install 4

uninstall 0
Sample Output

3

1

3

2

3
HINT

一开始所有的软件包都处于未安装状态。

安装 5 号软件包，需要安装 0,1,5 三个软件包。

之后安装 6 号软件包，只需要安装 6 号软件包。此时安装了 0,1,5,6 四个软件包。

卸载 1 号软件包需要卸载 1,5,6 三个软件包。此时只有 0 号软件包还处于安装状态。

之后安装 4 号软件包，需要安装 1,4 两个软件包。此时 0,1,4 处在安装状态。

最后，卸载 0 号软件包会卸载所有的软件包。

n=100000

q=100000
Source

简单的提一提树链剖分的思想。这是一个在树上做线段树的算法，通过有技巧的剖分（求重儿子）来实现从某个点到根最多在线段树上走log次。

轻重边有几个性质：
性质1：如果u,v为轻边，则size[v] < size[u]/2。

性质2：从根到某一点V的路径上的轻边个数不大于logn。
证明：V为叶子节点时轻边个数最多。由性质1可知，每经过一条轻边，子树的节点个数至少比原来少一半，所以至多经过logn条轻边就到达叶子节点了。

性质3：我们称某条路径为重路径（链），当且仅当它全部由重边组成。那么对于每个点到根的路径上都不超过logn条轻边和logn条重路径。
证明：显然每条重路径的起点和终点都是由轻边构成，而由性质2可知，每个点到根节点的轻边个数为logn，所以重路径个数也为logn。
同时我们也容易发现，一个点在且只在一条重路径上，而每条重路径一定是一条从根结点方向向叶结点方向延伸的深度递增的路径。

剖分过程中要计算如下7个值：
Fa[x]:x在树中的父亲
Dep[x]:x在树中的深度
Size[x]:x的子树结点数
Son[x]:x的重儿子
Top[x]:x所在重路径的顶部结点(深度最小)
Seg[x]:x在线段树中的位置(下标)
Rev[x]:线段树中第x个位置对应的树中结点编号

考虑如何将一条路径(u,v)拆分为若干条重路径：实际上这个过程就是一个寻找最近公共祖先（LCA）的过程。考虑暴力的做法，我们会选择u,v中深度较大的点向上走一步，直到u=v。现在有了重路径，由于我们记录了重路径的顶部结点top[x]，还记录了每个点在序列中的位置，因此我们不需要一步步走。假定top不同，那么他们的最近公共祖先（LCA）可能在其中一条的重路径上，也可能在其他的重路径上，那么LCA显然不可能在top深度较大的那条重路径上，所以我们先处理top深度较大的。首先我们找出u,v中深度较大的点，假设是u，则我们可以直接跳到fa[top[u]]处，且跳过的这一段，在序列中是一段区间，若我们按照深度从小到大来存储点，则这段区间为：[seg[top[x]],seg[x]]。当u,v的top相同时，说明它们走到了同一条重路径上了，这时它们之间的路径也是序列上的一段区间，且u,v中深度较小的那点是原路径的LCA。这样我们就可以将给出的任意路径拆分成若干条重路径，也就是若干个区间，并用线段树等数据结构处理操作。

sol:
安装就是安装一条链，卸载就是卸载一个子树（子树在线段树中的区间dfs序是连续的，为(dfn[u],dfn[u]+size[u]-1)）。操作为将一个区间全部赋为1或赋为0，因此保存一下每个区间里0的个数(或1的个数)。

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cmath>using namespace std;const int N=110000;const int M=410000;bool vis[N];char sr[30];int fa[N],top[N],seg[N],size[N],son[N],dep[N];int fir[N],go[M],nex[M];int dfs(int u){    int e,v;    size[u]=1;    vis[u]=true;    dep[u]=dep[fa[u]]+1;    for(int e=fir[u];v=go[e],e;e=nex[e])    if(!vis[v]&&v!=fa[u])    {        fa[v]=u;        dfs(v);        size[u]+=size[v];        if(size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;    }}int dfs2(int u){    int e,v;    if(son[u])    {        top[son[u]]=top[u];        seg[son[u]]=++seg[0];        dfs2(son[u]);    }    for(e=fir[u];v=go[e],e;e=nex[e])    if(v!=fa[u]&&v!=son[u])    {        top[v]=v;        seg[v]=++seg[0];        dfs2(v);     }}inline int read(){    bool flag=false;    char c;    while((c=getchar())<'0'||c>'9')    if(c=='-') flag=true;    int res=c-'0';    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')    res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';    return flag?-res:res;}int tot;inline void add(int x,int y){    nex[++tot]=fir[x];    fir[x]=tot;    go[tot]=y;}int sum[M];//区间中有多少个卸载的软件 bool tag_false[M],tag_true[M];void pushdown(int k,int l,int r){    int mid=l+r>>1;    if(tag_false[k])    {        sum[k<<1]=mid-l+1;        sum[k<<1|1]=r-mid;        tag_false[k<<1]=tag_false[k<<1|1]=1;        tag_true[k<<1]=tag_true[k<<1|1]=0;        tag_false[k]=0;    }    if(tag_true[k])    {        sum[k<<1]=0;        sum[k<<1|1]=0;        tag_false[k<<1]=tag_false[k<<1|1]=0;        tag_true[k<<1]=tag_true[k<<1|1]=1;        tag_true[k]=0;    }}int ans;void cover_false(int k,int l,int r,int L,int R){    if(L<=l&&R>=r)    {        ans+=(r-l+1-sum[k]);        sum[k]=r-l+1;        tag_false[k]=1;        tag_true[k]=0;        return;    }    int mid=l+r>>1;    pushdown(k,l,r);    if(mid>=L) cover_false(k<<1,l,mid,L,R);    if(mid+1<=R) cover_false(k<<1|1,mid+1,r,L,R);    sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];}void cover_true(int k,int l,int r,int L,int R){    if(L<=l&&R>=r)    {        ans+=sum[k];        sum[k]=0;        tag_true[k]=1;        tag_false[k]=0;        return;    }    int mid=l+r>>1;    pushdown(k,l,r);    if(mid>=L) cover_true(k<<1,l,mid,L,R);    if(mid+1<=R) cover_true(k<<1|1,mid+1,r,L,R);    sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];}void build(int k,int l,int r){    if(l==r)    {        sum[k]=1;        return;    }    int mid=l+r>>1;    build(k<<1,l,mid);    build(k<<1|1,mid+1,r);    sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];}int n,q,f;void work(int x){    int fx=top[x];    while(fx!=1)    {        cover_true(1,1,n,seg[fx],seg[x]);        x=fa[fx];fx=top[x];    }    cover_true(1,1,n,1,seg[x]);}int main(){    n=read();    for(int i=2;i<=n;++i)    {        f=read();        add(f+1,i);    }    dfs(1);    top[1]=seg[0]=seg[1]=1;    dfs2(1);    build(1,1,n);    q=read();    for(int i=1;i<=q;++i)    {        scanf("%s",sr+1);        f=read()+1;        ans=0;        if(sr[1]=='i')            work(f);        else            cover_false(1,1,n,seg[f],seg[f]+size[f]-1);        printf("%d\n",ans);    }}