数理逻辑3 -- 形式数论1

这节开始跳到第三章，其实第二章还有好多内容，但冗长沉闷，也不知道后面是否能用上。所以，先跳到第三章，若需要用到第二章剩余的内容，再跳回去。

自然数和几何，应该是人类最古老的两大数学分支。所以，任何试图建立数学根基的系统，都避免不了要对自然数系统进行“基础化”。何为自然数？自然数的加减乘除的本质是什么？这当然是很高深的问题，再寻根问底可以跑到哲学的领域，就像柏拉图笔下的苏格拉底说的：”我现在仿佛什么都不知道了，比如最简单的数字我也不知道了。2是什么？显然世界上并不存在2。它是1+1吗？我不知道是那个被加的1因为被加上了1而变成了2，还是那个加上的1因为加上另一个1而变成了2，我什么都不知道。“

当然，柏拉图这番言论实际上是在讨论他的”相论“，但自然数的奥秘值得进一步深入讨论。本章就试图通过一阶形式逻辑来建立自然数系统，最终引发自然数系统的一致性与完备性的讨论。

自然数的形式化与公理化最早由德国数学家Richard Dedekind在1879年给出，而后意大利数学家Giuseppe Peano稍微简化了下，形成了至今流行的Peano Postulates（中译：皮亚诺公设）：

• （P1）0是自然数
• （P2）如果x是自然数，则存在另一个自然数，用x′表示。通常x′成为x的后继。
• （P3）0≠x′，对于任意自然数x成立。
• （P4）如果x′=y′，则x=y。
• （P5）如果Q是一个对任意自然数成立或不成立的性质，则(I) 若Q对0成立；(II) 每当Q对x成立，总有Q对x′成立；那么，Q对所有自然数成立。

上述公理，再加上一些集合论的东西，不仅可以发展出自然数系统，还可发展出有理数、实数、复数系统。但上述公理的P5中包含”性质“这样不够严谨的表述，所以接下来我们就尝试对借助Peano公理的精神，用一阶逻辑重新建立一套自然数系统，并且”尽量没有遗漏“任何自然数的性质。

这个一阶逻辑系统记为S，它的一阶语言记为LA，称为代数语言。LA只有一个谓词（predicate letter），记为A21，它包含两个输入，所以A21(t,s)可简写为t=s。LA只有一个常数符号a1，为了习惯自然数系统的表达方式，我们可用0来表示a1。最后，LA有三个函数符号f11，f21和f22，也可用t′，t+s和t⋅s简写表示。

LA语言：

• 谓词符号：=
• 常数符号：0
• 函数符号：t′, t+s, t⋅s

LA语言对应的一阶逻辑系统S的Proper Axiom为（它的逻辑公理见上一章笔记）：

• （S1）x1=x2⇒(x1=x3⇒x2=x3)
• （S2）x1=x2⇒x′1=x′2
• （S3）0≠x′1
• （S4）x′1=x′2⇒x1=x2
• （S5）x1+0=x1
• （S6）x1+x′2=(x1+x2)′
• （S7）x1⋅0=0
• （S8）x1⋅(x2)′=(x1⋅x2)+x1
• （S9）B(0)⇒[(∀x)(B(x)⇒B(x′))⇒(∀x)B(x))]，对S中的任一好式子B(x)。

以上九套公理，加上一阶逻辑系统的那5套逻辑公理，就构成了形式数论的公理。这九套公理仔细一看，几乎”全是废话“，但它们就是为了让我们对自然数的直觉是”有理有据“的。最后一套公理建立了自然数系统的”数学归纳法“，称为数学归纳法原则。任何与S具有相同公理的系统，通常称为”皮亚诺代数”，简称PA。

有了系统S，接下来就是要证明这个系统的确是”含等式的一阶逻辑系统“，也即要证明（查看上一节笔记）

• （A6）(∀x1)x1=x1
• （A7）x=y⇒[B(x,x)⇒B(x,y)]

为了达到这一目的，先证明一大堆”常识性“的引理和定理。

引理3.1：对于任意项t,s,r，以下wf是S的定理。

• （S1’）t=r⇒(t=s⇒r=s)
• （S2’）t=r⇒t′=r′
• （S3’）0≠t′
• （S4’）t′=r′⇒t=r
• （S5’） t+0=t
• （S6’）t+r′=(t+r)′
• （S7’）t⋅0=0
• （S8’）t⋅r′=(t⋅r)+t
  注：（S1’）-（S8’）是公理（P1）-（P8）的直接推论。证明方法采用同样的技巧即可。
  证明：
  （S1’）应用规则A4，即，若t在B(x)中对x自由，则(∀x)B(x)⊢B(t)。
  
  1. x1=x2⇒(x1=x3⇒x2=x3)，由P1
  2. 假设x4不在t中（总能找到一个t不包含的变量符号）
  3. (∀x1)(x1=x2⇒(x1=x3⇒x2=x3))，由1和Gen
  4. x4=x2⇒(x4=x3⇒x2=x3)，由规则A4，x4显然对x1自由
  5. (∀x4)(x4=x2⇒(x4=x3⇒x2=x3))，由4和Gen
  6. t=x2⇒(t=x3⇒x2=x3)，由2、4和规则A4。
  7. 运用同样的技巧，把x2和x3依次替代成r和s。
     证毕

（S1’）-（S8’）的证明采用和（S1’）同样的技巧即可。