USACO-Section2.2 Subset Sums [动态规划]

题目大意

对于从1到N (1 <= N <= 39) 的连续整数集合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，每个子集合的所有数字和是相等的：

{3} 和 {1,2}

这是唯一一种分法（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数） 如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分法的子集合各数字和是相等的:

{1,6,7} 和 {2,3,4,5} {注 1+6+7=2+3+4+5}{2,5,7} 和 {1,3,4,6}{3,4,7} 和 {1,2,5,6}{1,2,4,7} 和 {3,5,6}

给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。程序不能预存结果直接输出（不能打表）。
(copy form nocow)

题解

dp[i][j]表示用前i个数字组成的和为j的方案数。那么动归方程为：

dp[i][j]=⎧⎩⎨dp[i−1][j],dp[i−1][j]+dp[i−1][j−i],1,i<ji≥ji=0,j=0

当i=j时，dp[i-1][0]必须等于1，不然会漏掉只选i一个数字的情况。所以初始化的时候dp[0][0] = 1即可。

代码

#include <iostream>#include <fstream>#include <cstring>#define MAXN 40#define MAXM 400#define SUM(x) (((x)+1)*(x)/2)#define cin fin#define cout foutusing namespace std;ifstream fin("subset.in");ofstream fout("subset.out");typedef long long ll;ll dp[MAXN][MAXM];int N, M;int main() {    cin >> N;    M = SUM(N);    if (M%2) {        cout << 0 << endl;        return 0;    }    M /= 2;    memset(dp, 0, sizeof(dp));    dp[0][0] = 1;    for (int i = 1; i <= N; i++) {        for (int j = 0; j <= M; j++) {            if (j < i) dp[i][j] = dp[i-1][j];            else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-i];            //dp[i-1][0]必须等于1，不然会漏掉只选i一个数字的情况。        }    }    cout << dp[N][M]/2 << endl;}

在空间上可以做一点点微小的优化,使用一维数组。优化原理参照背包9讲详解：

#include <iostream>#include <fstream>#include <cstring>#define MAXN 40#define MAXM 400#define SUM(x) (((x)+1)*(x)/2)#define cin fin#define cout foutusing namespace std;ifstream fin("subset.in");ofstream fout("subset.out");typedef long long ll;ll dp[MAXM];int N, M;int main() {    cin >> N;    M = SUM(N);    if (M%2) {        cout << 0 << endl;        return 0;    }    M /= 2;    memset(dp, 0, sizeof(dp));    dp[0] = 1;    for (int i = 1; i <= N; i++) {        for (int j = M; j >= 0; j--) {            if (j >= i)                dp[j] = dp[j] + dp[j-i];        }    }    cout << dp[M]/2 << endl;}