洛谷【P1404】加分二叉树

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入输出格式

输入格式：

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式：

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入样例#1：

5
5 7 1 2 10

输出样例#1：

145
3 1 2 4 5

题解

虽然题目给出的描述好像是树形DP，但本题能用区间DP解决。题目给出二叉树的中序遍历为1~n，那么包含在[1,n]内的任意一个区间[l,r]都可以代表一棵子树，根节点为[l,r]内的任意一个数。根据题目中给出的二叉树加分的计算方法，可以写出如下的转移方程：

状态设计：F[i][j]表示区间[i,j]代表子树的加分

状态转移：F[i][j]=max{F[i][k-1]*F[k+1][j]+V[k]}（i<=k<=j，V[k]代表k节点的加分）

题目要求叶子节点的加分为节点本身的分数，空子树的加分为1，因此边界条件处理如下：

边界处理：F[i][i]=V[i],F[i][i+1]=1

至于打印答案的问题，有两种方法。一是枚举根节点，看哪一个符合状态转移方程；二是用空间换时间，开一个数组G，用G[l][r]代表区间[l,r]中的根节点。初始时G[i][i]=i。

代码

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn = 33;int v[maxn],g[maxn][maxn];LL f[maxn][maxn];int n;void dfs(int l,int r){    if(l>r) return;    int t=g[l][r];    printf("%d ",t);    dfs(l,t-1);    dfs(t+1,r);}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]);    for(int i=0;i<=n;i++) f[i+1][i]=1;//空子树的初始化从0开始     for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=v[i],g[i][i]=i;    for(int l=1;l<n;l++)//先枚举区间长度，移动一段固定的区间进行转移     {        for(int i=1;i<=n-l;i++)        {            int j=i+l;            for(int k=i;k<=j;k++)            {                LL t=f[i][k-1]*f[k+1][j]+v[k];                if(t>f[i][j])                {                    f[i][j]=t;                    g[i][j]=k;                }            }        }    }    printf("%lld\n",f[1][n]);    dfs(1,n);    return 0;}