Unity3D Vector3.Dot 点乘 与 Vector3.Cross 叉乘

一、点积（又称“数量积”、“内积”）

1、理论知识

   向量的点积,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。在数学中，点积的定义为a·b=|a|·|b|cos<a,b> 【注：粗体小写字母表示向量，<a,b>表示向量a,b的夹角，取值范围为[0，π]】。从定义上，我们知道向量的点积得到的是一个数值。而不是向量（这点大家要注意了！要与叉积进行区别）。另外点积中的夹角<a,b>没有顺序可言，即<a,b>=<b,a>（或a·b=b·a）。所以我们可以通过点积得到两个向量之间的夹角。<a,b>= arccos(a·b / (|a|·|b|))。并且通过点积的正负值，我们可以判断两个向量的方向关系。如果为正，即>0，他们夹角为（0，π/2）。如果为负，夹角为（π/2,π）。

a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a·b=0    正交，相互垂直  
a·b<0    方向基本相反，夹角在90°到180°之间 

2、Unity3D中应用

   在Unity中，点积表示为Vector3.Dot(Vector3,Vector3):float——参数为2个向量，返回值为浮点型。

using UnityEngine;  using System.Collections;     public class Vector3_Dot : MonoBehaviour {             //向量a      Vector3 a;      //向量b      Vector3 b;             void Start()      {          //向量的初始化          a = new Vector3(3, 0, 0);//x轴方向，长度为3          b = new Vector3(Mathf.Sqrt(2), Mathf.Sqrt(2), 0);//（根号2，根号2，0）      }         void OnGUI()      {          //点积的返回值          float c=Vector3.Dot(a,b);          //向量a,b的夹角,得到的值为弧度，我们将其转换为角度，便于查看！          float angle=Mathf.Acos( Vector3.Dot(a.normalized,b.normalized))*Mathf.Rad2Deg;          GUILayout.Label("向量a，b的点积为：" + c);          GUILayout.Label("向量a，b的夹角为：" + angle);      }         }  

a.normalized表示该方向的单位向量，即方向与向量a相同，长度为1的向量。Mathf.Acos()即数学中的arccos()函数。Mathf.Rad2Deg表示将弧度转化为角度。

结果如下图：

二、叉积（又称“向量积”、“外积”）

1、理论知识

   数学上的定义：c=axb【注：粗体小写字母表示向量】其中a,b,c均为向量。即两个向量的叉积得到的还是向量！

   性质1：c⊥a，c⊥b，即向量c垂直与向量a,b所在的平面。

   性质2：模长|c|=|a||b|sin<a,b>

   性质3：满足右手法则。从这点我们有axb ≠ bxa，而axb = - bxa。所以我们可以使用叉积的正负值来判断向量a，b的相对位置，即向量b是处于向量a的顺时针方向还是逆时针方向。

2、Unity中应用

   在Unity中，叉积表示为Vector3.Cross(Vector3,Vector3):Vector3——参数为2个向量，返回值也为向量。

using UnityEngine;  using System.Collections;     public class Vector3_Cross : MonoBehaviour {         //向量a      Vector3 a;      //向量b      Vector3 b;         void Start()      {          //向量的初始化          a = new Vector3(3, 0, 0);//x轴方向，长度为3          b = new Vector3(0, 4, 0);//y轴方向，长度为4      }         void OnGUI()      {          //叉积的返回值          Vector3 c = Vector3.Cross(a, b);          Vector3 d = Vector3.Cross(b, a);          //向量a,b的夹角,得到的值为弧度，我们将其转换为角度，便于查看！          float angle = Mathf.Asin(Vector3.Distance(Vector3.zero, Vector3.Cross(a.normalized, b.normalized))) * Mathf.Rad2Deg;          GUILayout.Label("向量axb为：" + c);          GUILayout.Label("向量bxa为：" + d);          GUILayout.Label("向量a，b的夹角为：" + angle);      }  }  

Vector3.Distance()用于计算2个Vector3的距离，在这里我们可以得到叉积向量的模长。

结果如下图：