卡特兰数
来源:互联网 发布:淘宝怎么取消手机绑定 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 01:07
出处:http://blog.csdn.net/jtlyuan/article/details/7440591
卡特兰数又称卡塔兰数,卡特兰数是组合数学中一个常出现
令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式 :
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
在各种计数问题中的数列
实质上都是递推等式的应用
最典型的四类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了)
1.括号化问题。
矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
n对括号正确匹配数目
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸N+2多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点,能构成多少种不同的二叉树?
(能构成h(N)个)
Catalan数的解法
Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)
卡特兰数真是一个神奇的数字,很多组合问题的数量都和它有关系,例如:
Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数,例如 3对括号能够组成:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
Cn= n+1个数相乘,所有的括号方案数。例如, 4个数相乘的括号方案为:
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))
Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态:
Cn=n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数,例如, 4×4方格地图中的路径有:
Cn= n+2条边的多边形,能被分割成三角形的方案数,例如 6边型的分割方案有:
Cn= 圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数。
下面是一些大公司的笔试题
先来一道阿里巴巴的笔试题目:说16个人按顺序去买烧饼,其中8个人每人身上只有一张5块钱,另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个,开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气,每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。
C8=1430,所以总数=1430*8!*8!
2012腾讯实习招聘笔试题
在图书馆一共6个人在排队,3个还《面试宝典》一书,3个在借《面试宝典》一书,图书馆此时没有了面试宝典了,求他们排队的总数?
C3=5;所以总数为5*3!*3!=180.
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