2016年全国高中数学联赛加试T2解答

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　　加试T2为平面几何。
　　题意如图，O1，O2分别为三角形XAC,YAB外心。BX×AC=CY×AB，求证:AU=AV

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　　我仍然使用最擅长的三角法计算。本题计算的难度在于O1O2这条直线悬浮在空中，为了计算，必须要找到能依靠的边和角，而A为两圆的公共点，外心可以导角和，所以我处理的时候依靠图形AO1O2UV，而这个熟悉的图形又想到张角定理，这个思路十分自然，事实证明这个思路证明题目很快。
　　

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　　因为O1O2UV顺序不定，所以认为角有方向，以逆时针为正。
　　
　　在AO1O2U中使用张角定理，则
　　AO1sinUAO2+AO2sinO1AU=AUsinO1AO2
　　
　　同理在AO1O2V也有类似结论，由于等式右边仅仅AU,AV不同，所以为了证明AU=AV，只需证等式左边相等，再利用外心导角求出各个角并化简，有原命题等价于:
　　cosY+cos(A+Y)R1=cosX+cos(A+X)R2
　　
　　利用正弦定理求出R1,R2，利用和差化积化简分子，等价于:
　　sinCsin(B+C2−Y)sinY=sinBsin(B+C2−X)sinX
　　
　　利用和角公式化简，只需证:
　　sinCsinB+C2cotY−sinCcosB+C2=sinBsinB+C2cotX−sinBcosB+C2

　　把条件利用正弦定理化为:
　　sinXsin(C−Y)=sinYsin(B−X)

　　可验证这个式子和需要证明的式子等价。
　

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　　这个解答只能算一个思路，计算过程省略了不少，但是没有实质性难度。如果是联赛，需要详细证明一下张角定理的推广形式(允许面积和角有正负)。