两道2016年美国高中数学竞赛题

来源

2016 Joseph W. Andrushkiw Competition

The Joseph W. Andrushkiw Competition is an annual mathematics problem-solving competition for New Jersey high school students(每年举行一次、面向新泽西高中生的数学解题竞赛) that is sponsored and hosted by the Mathematics and Computer Science Department at Seton Hall University(该大学的数学和计算机科学系主办）.

Examination

考试内容涵盖：代数、几何、三角学、方程组理论、组合、概率及其它初等数学学科，共16道题，90分钟答完，不准用计算器。

You have 90 minutes to complete the exam. The exam consists of sixteen (16) questions chosen from Algebra, Geometry, Trigonometry, Theory of Equations, Combinatorics, Probability and miscellaneous elementary topics in Mathematics. Calculators may not be used.

竞赛已经于美国新泽西当地时间2016年11月19日上午10:00赛过了。

两道题：

之一

求 cos36o−cos72o

之二

化简 3−5√−−−−−−√+4+7√−−−−−−√+6−35−−√−−−−−−−√

解法

因为不是很难，所以，干脆改成证明题吧，证明
cos36o−cos72o=12
和

3−5√−−−−−−√+4+7√−−−−−−√+6−35−−√−−−−−−−√=14−−√

前者，充分利用三角函数的典型公式特点作等价变换；后者，利用一些根式和差平方的恒等式作等价变换。

cos36o−cos72o=cos(54o−18o)−cos(54o+18o)=2sin54osin18o=cos(90o−54o)⋅2sin18ocos18ocos18o=cos36osin36ocos18o=sin72o2sin72o=12

第二个涉及到如下恒等变换的技巧。

也就是，定理 对任意的 x±y−−−−√,∀x>y∈R+， 总可以拆分成 a√±b√ (式子中的加减对应即可)的等价形式。

其中，a,b 和 x,y之间 满足如下关系（对此处，显然更关心，知道了x,y 的情况下如何求 a,b）：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab==12(x+x2−y2−−−−−−√)12(x−x2−y2−−−−−−√)

从而，式子中的每一个根号，都可以拆分成两个根号的加减的形式。拆完发现就能减掉了。

结论

这两道题，嘿嘿。