2016年全国高中数学联赛加试T4分析

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　　加试T4是一个数论题。
　　

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　　本卷最难的题目。联赛近几年的数论题很少出现专业的纯数论题，一般都和组合或者代数结合。本题属于代数变形主导的数论题。
　　
　　从下表可以看出，在大部分省份，只要加试做出了前三个题目(130分)，一试110分，总分就有240分，可以进省队了。但是在强省浙江，这个分数一试稍微考差一点还拿不了一等奖。进省队还需要做出这个最后一题。(我高中联赛那一年也是差一点省队，真的是生在强省好惨啊。)
　　
　　

　　很遗憾，我做这个题的思路虽然也是对的，但是耗时过久，基本没有考场上做出的可能。幸好早生了两年，不然今年万一一试考得差一点，可能连一等奖都拿不到了…

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　　言归正传，这个题考虑到结论如果成立，那么高斯函数就可以去掉，所以当然使用数学归纳法，然后求出an，最后再证明条件仍然成立。

　　先看官方答案(省略了归纳假设):
　　

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　　答案评分标准非常决绝，因为这个代数变形是答案的关键，居然不到这一步10分都拿不到。化出后再分析因子。
　　但是我的思路在去掉高斯函数后直接企图求出通项，使用累加，相比答案的累乘，少了直接化成组合数的优势，但是理论上仍然可以用数学归纳法做出来。有兴趣的同学可以试试看，做出后后面解答就简单了。但是考虑到加试的前几个题做的时间，考场上估计没有空做这个题了。