2016年全国高中数学联赛加试T3解答

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　　加试T3是图论题。
　　题意为10个点的图没有长为3，4的圈，求最大边数。

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　　一个不算困难的图论题。
　　首先Peterson图满足条件，边数为15。
　　下证边数最大为15。
　　没有三角形对应托兰定理，没有四边形对应点对的计数，单独使用都不够紧，所以要综合使用。
　　
　　容易知道若15边以上，则最大度至少为4，设点a的度最大为n≥4，则余下图分为A(a邻域)，与A¯。
　　总边数=n+|A与A¯间连边|+|A¯内连边|≤n+(9−n)+(9−n)24<16
　　其中，|A与A¯间连边|由没有四边形知，A¯每点至多一边到A(考虑点对)，而|A¯内连边|由托兰定理保证。
　　证毕。