BZOJ 4318 期望DP 解题报告

4318: OSU!

Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）
现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。
Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

Sample Input

3
0.5
0.5
0.5

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】
000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0
N<=100000

【解题报告】
假如这个01串使确定的，考虑每新增一个位置，如果这个位置是0，则贡献为0，否则贡献为(x+1)^3−x^3=3*x^2+3*x+1，其中x为加入之前最长的全1后缀的长度
现在这个问题变成了期望问题，那么我们只需要维护一个x的期望和x2的期望即可。

代码如下：

/**************************************************************    Problem: 4318    User: onepointo    Language: C++    Result: Accepted    Time:140 ms    Memory:24260 kb****************************************************************/#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define N 1000010int n;double g1[N],g2[N],dp[N];int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;++i)    {        double x;scanf("%lf",&x);        g1[i]=(g1[i-1]+1)*x;        g2[i]=(g2[i-1]+2*g1[i-1]+1)*x;        dp[i]=dp[i-1]+(3*g2[i-1]+3*g1[i-1]+1)*x;    }    printf("%.1f",dp[n]);    return 0;}