MVG读书笔记——射影变换的校正（零）

我们知道，射影变换使得图像失去了平行性等几何性质，只保留了点之间的共线性。一般情况下我们无法从变形后的图像获取这些几何信息，但是利用一些先验知识（比如直线间的正交关系、比例等），就可以从射影变换中恢复图像的几何信息。

这篇文章中我们先对射影变换H下直线和圆锥曲线的变换进行介绍，为使用先验知识恢复图像作准备。

直线的射影变换

对直线l进行射影变换得到l’，有

l′=H−Tl

推导如下：

设x变换后得到x’，l变换后得到l’.则

l′Tx′=0=lTH−1Hx=lTH−1x′

故l′T=lTH−1

圆锥曲线的射影变换

同样的，对圆锥曲线C进行射影变换得到C’，有

xTCx=x′TH−TCH−1x′

得到新的圆锥曲线C′=H−TCH−1

无穷远处直线

之前讲过，射影几何中对待无穷远处点和有限远处点的方法可以是一致的。同样的，对一个无穷远处的直线l′∞=[0,0,1]T,在射影变换下可能会变成一条可见的直线。比如对某变换矩阵，假设它的转置逆矩阵

H−T=⎡⎣⎢⎢123317501⎤⎦⎥⎥

则变换后得到的直线l′=[5,0,1]。它是一个有限处的直线。

特别的，当H为仿射变换时，无穷远处图像仍为无穷远。