MVG读书笔记——三维空间中的射影几何(二)
来源:互联网 发布:苏州app软件开发 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 20:08
直线
通常三维空间中的直线可以由两点的连线或者两平面的相交线确定,但它的表示却比较麻烦。
三维空间中的直线有4个自由度。一个简单的解释是想象在两个正交平面上各取一个点,从而得到一条直线,这两个点各有两个自由度,因此合起来有4个自由度。
对于4个自由度的齐次表示一般需要5维向量,这样的表示方法将使得直线与平面和点(它们都是4维向量)的运算变得困难,为解决这一问题,数学家们发明了不同的表示方法。
零空间、生成空间表示法
设A、B为空间中的两点,过A、B的直线为L。定义
则:
- W的行向量张成的空间构成了直线上的点集
- W的零空间构成了以直线L为轴的平面的集合
由线性代数易证,简单解释就是齐次坐标下直线上的点可以表示为其上不重合的两点的线性组合。
同样的,设平面P、Q交于直线L,定义
则:
- W的行向量张成的空间构成了以直线L为轴的平面的集合
- W的零空间构成了直线上点的集合。
称它为前一种方法的对偶表示法。
由此可以得到两个推论:
- 矩阵
M=[WT X]T 的零空间为直线与点确定的平面 M=[W∗T π]T 的零空间为平面与直线的交点。
plucker矩阵表示
设A、B为L上的两点,则
L的秩为2,它的零空间是上文的
可以看到,此种定义方法与前一种不同,对于L上任意两个点,总能得到相同的L。对它进行射影变换H得到的直线为
同样的可以定义它的对偶表示法
设平面P、Q相交于L,则
对它进行射影变换有
可以得到两个推论:
- 由点X和直线L定义的平面为
π=L∗X , - 由直线L和平面
π 确定的点为x=Lπ
plucker直线坐标
plucker直线坐标即上述反对称矩阵L的6个非零元素,即
这是一个6维的非齐次坐标,表示了
仅当6维向量
它可以用来判断两条直线
当且仅当
二次曲面
二次曲面可以表示为
Q为
二次曲面与平面
在射影变换下二次曲线满足
阅读全文
0 0
- MVG读书笔记——三维空间中的射影几何(二)
- MVG读书笔记——三维空间中的射影几何(一)
- MVG读书笔记——射影变换的校正(二)
- MVG读书笔记——齐次坐标与射影几何
- MVG读书笔记——射影几何下的直线
- MVG读书笔记——射影几何下的二次曲线
- MVG读书笔记——射影变换的校正(零)
- MVG读书笔记——射影变换的校正(一)
- MVG读书笔记——射影变换的校正(三)
- MVG读书笔记——三维空间中的欧氏变换
- MVG读书笔记——几何变换
- MVG读书笔记——几何变换续
- MVG读书笔记——单应矩阵估计这件小事(二)
- 高等几何——射影几何整理
- 高等几何——射影平面
- 高等几何——射影平面2
- 高等几何——射影平面3
- 高等几何——射影变换4
- MyBatis(3)--MyBatis一些概念
- mybatis-使用原始dao
- 日期差值
- 获取git仓库
- gulp构建
- MVG读书笔记——三维空间中的射影几何(二)
- 启明之星
- Python爬取天气预报数据,并存入到本地EXCEL中
- mybatis-自动生成mapper接口实现类
- [扩展kmp] hdu6153 A Secret
- 遍历二叉树(递归与非递归)
- android malware
- PS入门-02-椭圆选择框基础操作
- Personal programming language Gym