MVG读书笔记——射影变换的校正（二）

虚圆点(circular points)

上一节讲到仿射变换中无穷远处的直线是固定的。而其上的点是不固定的。这很容易理解，对一条直线沿着它的切线方向平移，直线方程不变，但是上面的点的坐标却发生了变化。

然而，通过计算可以发现对于相似变换，无穷远处有两个共轭的理想点是固定的，即

I=⎡⎣⎢⎢1−i0⎤⎦⎥⎥,J=⎡⎣⎢⎢1−i0⎤⎦⎥⎥

我们把这两个点称为虚圆点。对于相似变换H，以点I为例，有

I′=HI=⎡⎣⎢⎢⎢sscosθsssinθ0−sssinθsscosθ0tx ty1⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢1i0⎤⎦⎥⎥=se−Iθ⎡⎣⎢⎢1i0⎤⎦⎥⎥=I

即相似变换不改变虚圆点坐标。

事实上，对于一个射影变换，如果它不使虚圆点发生改变，则它一定是一个相似变换。

虚圆点与圆

对任意一个圆x21+x22+dx1x3+ex2x3+fx23=0,它与l∞的交点满足x21+x22=0
考虑到齐次坐标(0,0,0)没有意义。方程在代数上的解为I = [1,i,0]T,J=[1,−i,0]T

即任意圆与无穷远处直线交于虚圆点。这也是它为什么得名。

虚圆点的对偶二次曲线

曲线C∗∞=IJT+JIT是虚圆点的对偶二次曲线。
带入I、J的坐标得到

C∗∞=⎡⎣⎢⎢100010000⎤⎦⎥⎥

显然，对偶二次曲线C∗∞在相似变换下也是固定的，即
C∗∞′=HsC∗∞HTs=C∗∞

射影平面中的角度

定义了虚圆点的对偶二次曲线，我们就可以定义射影平面中的角度。

在欧氏几何中，直线l=(l1,l2,l3)T和m=(m1,m2,m3)T之间的角度为

cosθ=l1m1+l2m2(l21+l22)(m21+m22)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

显然，仿射变换后由此定义计算得到的l’，m’夹角可能发生变化。为在射影变换后依然能够计算出l与m之间的角度，我们可以使用相似的定义

cosθ=lTC∗∞m(lTC∗∞l)(mTC∗∞m)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

验证在射影变换下由此定义计算出的角度不变很容易，只需利用直线、对偶二次曲线、点在H变换前后坐标的对应关系就好。举例来说，对分子项有

lTC∗∞m=lTH−1HC∗∞HTH−Tm=l′TC∗′m′

所以对于投影平面，如果我们能找到C∗∞，那么就可以通过上式计算两点间的欧氏角度。

一个自然的推论是，当且仅当lTC∗∞m=0时l与m垂直。

射影平面中的线段比

如图为欧氏平面中的一个三角形，由高中几何知识可以知道d(b:c):d(a,c)=sinα:sinβ

确定了C∗∞,可以确定α、β ,从而得到线段间的比值。

标定

综上，确定了射影平面中的C∗∞,我们就可以确定图像的度量信息，从而消除射影变换的形变。事实上，这也是相机标定所做的事情，具体的实现方法在后面介绍。