倍增LCA（bzoj 3732: Network）

3732: Network

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Description

给你N个点的无向图 (1 <= N <= 15,000)，记为：1…N。 

图中有M条边 (1 <= M <= 30,000) ，第j条边的长度为： d_j ( 1 < = d_j < = 1,000,000,000).

现在有 K个询问 (1 < = K < = 20,000)。 

每个询问的格式是：A B，表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Input

第一行： N, M, K。 
第2..M+1行: 三个正整数：X, Y, and D (1 <= X <=N; 1 <= Y <= N). 表示X与Y之间有一条长度为D的边。 
第M+2..M+K+1行: 每行两个整数A B,表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Output

 对每个询问，输出最长的边最小值是多少。

Sample Input

6 6 8

1 2 5

2 3 4

3 4 3

1 4 8

2 5 7

4 6 2

1 2

1 3

1 4

2 3

2 4

5 1

6 2

6 1

Sample Output

5

5

5

4

4

7

4

5

题目要两点之间最长的那条路尽可能的短

那么这条最短的“最长路”一定在最小生成树上，这个用反证法很好证明

这样就简单多了，因为是树，所以两点直接的路径唯一，每次只要查询路径中的最长边就好了

每次爆搜是不可能的，树链剖分又太麻烦（这都是废话）

倍增吧……

那。。怎么倍增？

先考虑暴力的方法：

先搜一遍预处理所有节点的父亲fa[x]和深度dep[x]

那么对于两点x和y，每次让更深的那个点向父亲爬就好了，最后两点一定会在最近公共祖先相遇，可这样超时

而倍增其实很简单，每个节点除了存下它的父亲以外，还存下它父亲的父亲、它父亲的父亲的父亲的父亲……

也就是说fa[x][j]存下x点的第2^j辈祖宗，例如fa[152][3]就是从节点152往上的第8个节点

递推式：fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1];

那。。怎么爬捏？

步骤①：先让更深的那个节点往上爬，直到它们深度相同（有可能此时两个节点刚好相遇）

②：两个同时爬就好，如果它们的第2^j辈祖宗一样，则说明它们的最近公共祖先在第2^j之前；

如果它们的第2^j辈祖宗不一样，则让它们同时向上爬2^j步！

是不是很简单？

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;typedef struct Road{int u, v;int len;bool operator < (const Road &b) const{if(len<b.len)return 1;return 0;}}Road;Road s[30005], temp;vector<Road> G[15005];int ufs[15005], fa[15100][20], bet[15100][20], deep[15100];int Find(int x){if(ufs[x]==0)return x;return ufs[x] = Find(ufs[x]);}void Sech(int x){int i;deep[x] = deep[fa[x][0]]+1;//预处理每个节点的深度和它的父亲for(i=0;i<G[x].size();i++){temp = G[x][i];if(temp.v==fa[x][0])continue;fa[temp.v][0] = x;bet[temp.v][0] = temp.len;Sech(temp.v);}}int Query(int x, int y){int j, ans = 0;if(deep[x]<deep[y])swap(x, y);for(j=14;j>=0;j--)//①：先让更深的那个节点往上爬，直到它们深度相同（有可能此时两个节点刚好相遇）{if(deep[fa[x][j]]>=deep[y]){ans = max(ans, bet[x][j]);x = fa[x][j];}}if(x==y)return ans;for(j=14;j>=0;j--)//②：两个同时爬{if(fa[x][j]!=fa[y][j]){ans = max(ans, bet[x][j]);ans = max(ans, bet[y][j]);x = fa[x][j];y = fa[y][j];}}ans = max(ans, bet[x][0]);ans = max(ans, bet[y][0]);return ans;}int main(void){int n, m, k, i, j, t1, t2, x, y;scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d", &s[i].u, &s[i].v, &s[i].len);sort(s+1, s+m+1);for(i=1;i<=m;i++){t1 = Find(s[i].u);t2 = Find(s[i].v);if(t1!=t2){ufs[t1] = t2;temp = s[i];G[s[i].u].push_back(temp);temp.u = s[i].v, temp.v = s[i].u;G[s[i].v].push_back(temp);}}Sech(1);for(j=1;j<=14;j++){for(i=1;i<=n;i++)//倍增{fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1];bet[i][j] = max(bet[i][j-1], bet[fa[i][j-1]][j-1]);}}for(i=1;i<=k;i++){scanf("%d%d", &x, &y);printf("%d\n", Query(x, y));}}