HDU 6078 Wavel Sequence 计数dp（思维）

传送门：HDU6078

题意：给出两个序列A和B，让你找出两组等长下标序列f和g，使得对于每个i，Afi == Bgi ，并且Afi序列为波浪序列。  问能找出多少种这样的下标序列。

波浪序列定义： a1<a2>a3<a4>a5<a6

 a1 < a2 > a3 < a4 > a5 < a6...

思路：先贴上官方题解：

设f_{i,j,k}f​i,j,k​​表示仅考虑$a[1..i]$与$b[1..j]$，选择的两个子序列结尾分别是a_ia​i​​和b_jb​j​​，且上升下降状态是$k$ 时的方案数，则f_{i,j,k}=\sum f_{x,y,1-k}f​i,j,k​​=∑f​x,y,1−k​​，其中$x<i,y<j$。暴力转移的时间复杂度为O(n^4)O(n​4​​)，不能接受。

考虑将枚举决策点$x,y$的过程也DP掉。设g_{i,y,k}g​i,y,k​​表示从某个f_{x,y,k}f​x,y,k​​作为决策点出发，当前要更新的是$i$的方案数，h_{i,j,k}h​i,j,k​​表示从某个f_{x,y,k}f​x,y,k​​作为决策点出发，已经经历了$g$的枚举，当前要更新的是$j$的方案数。转移则是要么开始更新，要么将$i$或者$j$继续枚举到$i+1$以及$j+1$。因为每次只有一个变量在动，因此另一个变量恰好可以表示上一个位置的值，可以很方便地判断是否满足上升和下降。

官方题解只看懂了暴力之前的部分。。于是百度了一发dalao们的做法，发现还是挺简洁易懂的：

dp[i][j][0]表示以a[i]和b[j]为公共序列结尾且为波谷的情况总和。 
dp[i][j][1]则表示波峰的情况总和。 
sum[i][j][0]表示∑(dp[k][j][0] | 1<=k<=j-1)。 //目前以b[j]为波谷结尾的‘总’匹配数
sum[i][j][1]则表示∑(dp[k][j][1] | 1<=k<=j-1)。 //目前以b[j]为波峰结尾的‘总’匹配数
那么对于每个a[i]，只有存在j使得b[j]==a[i]时，

dp[i][j][0]等于∑(sum[i-1][k][1] | 1<=k<=j-1&&b[k]>a[i])+1，//代码中用cnt1动态的求这部分和

dp[i][j][1]等于∑(sum[i-1][k][0] | 1<=k<=j-1&&b[k]<=a[i]-1). //代码中用cnt0动态的求这部分和

以上转自：点击打开链接

总的来说就是用一个类似前缀和的sum数组优化掉了一个n的复杂度(内层枚举1...i的过程)，又用两个变量动态求sum数组的和又优化掉了一个n的复杂度(内层枚举1...j的过程)，让总体复杂度从n^4变成了n^2.

因为总的dp过程只与i和i-1相关，因此所有数组都可以优化掉一维。

代码：

#include<bits/stdc++.h>#define ll long long#define pb push_back#define fi first#define se second#define pi acos(-1)#define inf 0x3f3f3f3f#define lson l,mid,rt<<1#define rson mid+1,r,rt<<1|1#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)#define per(i,n,x) for(int i=n;i>=x;i--)using namespace std;typedef pair<int,int>P;const int MAXN = 2010;const int mod = 998244353;int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}int a[MAXN], b[MAXN];int dp[MAXN][2];int sum[MAXN][2];int main(){    int T;    cin >> T;    while(T--)    {        int n, m;        cin >> n >> m;        for(int i = 1; i <= n; i++)        scanf("%d", a + i);        for(int i = 1; i <= m; i++)        scanf("%d", b + i);        memset(dp, 0, sizeof(dp));        memset(sum, 0, sizeof(sum));        int ans = 0;        for(int i = 1; i <= n; i++)        {            int cnt0 = 0, cnt1 = 1;//第一个数字只能为波谷，说明第‘0’个数字为波峰             for(int j = 1; j <= m; j++)            {                dp[j][0] = dp[j][1] = 0;                if(a[i] == b[j])                {                    dp[j][0] = cnt1;                    dp[j][1] = cnt0;                }                else if(a[i] > b[j])                cnt0 = (cnt0 + sum[j][0]) % mod;                else                cnt1 = (cnt1 + sum[j][1]) % mod;                sum[j][0] = (sum[j][0] + dp[j][0]) % mod;                sum[j][1] = (sum[j][1] + dp[j][1]) % mod;            }        }        for(int j = 1; j <= m; j++)        {            ans = (ans + sum[j][0]) % mod;            ans = (ans + sum[j][1]) % mod;        }        cout << ans << endl;    }     return 0;}