HDU 6069 Counting Divisors (素因子求贡献)

数论 素数 素分解 贡献 HDU 2017多校赛

Description

给定l​，r​和k​，计算以下表达式的值。

∑i=lrd(ik)mod998244535

其中d(n)为n的正因子数量。

Input

第一行给出用例组数T，接下来T行，每行给出三个整数l，r和k。1⩽l⩽r⩽1012, r−l⩽106, 1⩽k⩽107。

Output

对于每组测试用例，输出一个整数表示答案。

Sample Input

31 5 11 10 21 100 3

Sample Output

10482302

Solution

易知若n的素因子分解为n=pk11pk22⋯pkss，则d(n)=(k1+1)(k2+1)⋯(ks+1)，d(nk)=(kk1+1)(kks+1)⋯(kks+1)。因此要得到ik的因子数只需要素因子分解i。

一个数n的素因子主要分布在[1,n√]的范围内，[n√,n]内最多有一个。反证：假设[n√,n]有两个素因子p和q，则p×q⩾n，矛盾。

区间[l,r]​内每个数的素因子，主要分布在[1,r√]​内，[r√,r]​内最多有一个。于是线性筛出[1,r√]​范围内的所有质数，枚举每个质数p​，枚举[l,r]​内所有p​的倍数，计算p​对它们的全部贡献。然后枚举[l,r]​内的每个数，如果在[r√,r]​内还有素因子，一并算上。

时间复杂度为O(∑ri=lΩ(i))，其中Ω(i)为i的素因子数量。

Code

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;const int INF = 0x3f3f3f3f;const ll mod = 998244353;const int N = 1e6 + 10;int is_prime[N], prime[N], tot;void get_prime(int n){    for (int i = 1; i <= n; i++) is_prime[i] = true;    is_prime[0] = is_prime[1] = false;    tot = 0;    for (int i = 2; i <= n; i++)    {        if (is_prime[i]) prime[tot++] = i;        for (int j = 0; j < tot && prime[j] * i <= n; j++)        {            is_prime[prime[j] * i] = false;            if (i % prime[j] == 0) break;        }    }}ll a[N], d[N];int main(){    int T;    scanf("%d", &T);    get_prime(1e6);    while (T--)    {        ll l, r, k;        scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &k);        for (ll i = l; i <= r; i++) a[i - l] = i, d[i - l] = 1;;        for (int i = 0; i < tot; i++)        {            ll p = prime[i];            ll t = ceil((double)l / p) * p;            for (ll j = t; j <= r; j += p)            {                int tot = 0;                while (a[j - l] % p == 0) tot++, a[j - l] /= p;                d[j - l] = d[j - l] * (tot * k % mod + 1) % mod;            }        }         ll ans = 0;        for (ll i = l; i <= r; i++)        {            if (a[i - l] != 1) d[i - l] = d[i - l] * (k + 1) % mod;            ans = (ans + d[i - l]) % mod;        }        printf("%lld\n", ans);    }    return 0;}

Link

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069