纪中集训d2 提高A组模拟

这次情况稍微好了点，但是还是各种写跪23333……不得不说，纪中的OIer数学推演能力好像都太好了点，就是讲的课很容易让人听不懂……
【T1】【JZOJ 3777】
这道题目是一类特殊图的最短路，这种题目一般是打表+找规律+证明（一般不会去想？）……讲的是对于一个格点图，对于点(i,j)定义权值为F(i,j)=F(i−1,j)+F(i,j−1)，边界i=0或j=0时F(i,j)=1，同时在(i,j)与(i,j−1)、(i−1,j)间相应分别连两条零权值边，问(0,0)到(n,m)的最短路。
容易发现最短路就是沿着边走，不妨设n<m，那么最短路就是(0,0)−(0,m)−(n,m)，因为从另一个方向的折线显然比它长。那么问题就变成了求m+∑i=1nF(i,m)。由于我们马上可以发现F(i,j)其实对应杨辉三角，进而对应组合数，所以上面那个式子=m+∑i=1nC(i+m−1,i。
怎样快速求呢？这里有两个思路：
思路一，注意到

C(i,j)=j!i!(j−i)!

和

C(i+1,j+1)=(j+1)!(i+1)!(j−i)!

那么我们得到

C(i+1,j+1)=j+1i+1C(i,j)=(j+1)(i+1)−1C(i,j)

就可以很方便地用逆元直接推啦~
直接搞是O(nlgn)，如果用线性推逆元（推到nm−−−√）就可以直接做到O(n)，但是比较麻烦。
思路二，考虑到

C(i,j)=C(i−1,j)+C(i−1,j−1)

我们再次注意到那个式子里面我们如果把C(m,0)给补上去，然后由上面那条式子，可以得到

C(m,0)+C(m,1)+C(m+1,2)+⋯

=C(m+1,1)+C(m+1,2)+C(m+2,3)+⋯

=⋯=C(m+n−1,n)

这个可以直接算若干阶乘，然后全部阶乘完再做逆元，这样似乎比较快？而且还挺好写的，时间复杂度O(n+lgn)。
【T2】【JZOJ 3769】
题意是考虑一种特殊的斐波那契进制来表示数，即把数表示成每位权值分别为1,2,3,5,8...Fib(i)的向量a，使得这个a最大，也就是|a|最大且对于任意一个表示同样数且长度一样的的向量a′，设从高位到低位第一个不同的是ai≠a′i，那么都要满足ai>a′i。这里给出两个这样的向量，求把这两个向量对应加起来之后的最大向量。
我们发现，满足最大的向量一定没有相邻的两个一，而且也不可能有大于一的数，前一个可以合并两个一，后一个可以分拆，比如2xi=xi−2+xi+1，这样向量都会更大。于是我们先定义一次迭代操作就是先把所有的大于一的数分拆，然后再统一合并相邻的非零数，接着听说跑个玄学次就能过了，我也不会证……不过还是有可能构造出数据的。隔壁zmz dalao认为跑lgn次就可以了，但是我也还是证不了，根据数据只用10+次。

【T3】【JZOJ3771】
对于这道题目，我们直接来讨论下满分算法。考虑到如果不算所有乘上了2i的数，那么第一个盒子里的数都是奇数。那么我们容易发现，第一个盒子里面的所有数实际上就是所有形式为a2mi的数，其中a都是奇数，结合标号条件，我们还需要a2mi+m+1≤n。这时我们考虑枚举下i，就可以求出对应的a的范围，然后全部加一块就行了。我们发现，实际上我们给[n2]（这里[x]表示下取整）每次除多2m就行了……反正高精度里面压压位，然后直接用位运算加速就好了。