最大连续子序列之和练习最大m子段和问题

/*   Name:  最大m子段和问题   Author: 巧若拙   Description: 最大m子段和问题 给定由 n个整数（可能为负整数）组成的序列a1，a2，a3，……，an，以及一个正整数 m，要求确定序列 a1，a2，a3，……，an的 m个不相交子段， 使这m个子段的总和达到最大，求出最大和。 输入：每个测试用例将以两个整数m和n开始, 紧随其后的是n个整数a1，a2，a3，……，an。直到读入文件结束。输出：在一行上输出题目描述中所说的最大和。输入示例：1 3 1 2 32 6-1 4 -2 3 -2 3输出示例：68 算法思路：  经典的动态规划优化的问题。设f(i, j)表示前j个数划分成i段，且包括第j个数的最大m子段和，那么有dp方程： 　　　　f(i, j) = max { f(i, j-1) + A[j], max {f(i-1, k) + A[j]}(k = i-1 ... j-1)} 也就是说第j个数要么自己划到第i段，要么和前一个数一起划到第i段里面，转移是O(n)的，总复杂度O(n * n * m)。 　　 算法1：int MaxMSubSum(int i, int j);//自顶向下的备忘录算法  设置一个备忘录数组b[M+1][N+1]，b[i][j]表示把总长度为j的序列分成i个子段后，这i个子段的总和（其中第i个子段包含元素A[j]） 利用原问题的递归关系，使用递归函数来求解。最后遍历b[m][j]，找出最优解。  算法2：int MaxMSubSum_2(int m, int n);//自底向上的动态规划算法   从i=1开始，依次记录每一个b[i][j]，最后获得最大规模的b[m][n]。 和算法1一样，最后遍历b[m][j]，找出最优解。  算法3：int MaxMSubSum_3(int m, int n);//优化的动态规划算法  是对算法2的优化，算法2中用到的备忘录数组b[M+1][N+1]占空间较大，实际上下一行数据是利用上一行的数据生成的， 与更早的数据没有关系，于是可以用两个一维数组 maxSum[N+1] 和 curSum[N+1]代替b[M+1][N+1]。  最后写了一个函数 void PrintSubQue(int m, int n); //查找第i段连续子序列的左右边界，并输出这些子序列， 该函数需要用到备忘录数组b[M+1][N+1]，故只能对算法1和算法2产生的结果有效。  */  #include<iostream>  #include<cstring>    using namespace std;    const int M = 300;  const int N = 700;  int A[N+1]; int B1[M+1][N+1];  int B2[M+1][N+1];int pre[N+1];//pre[j]存储j个数的最大i-1子段和int cur[N+1];//cur[j]存储当前处理行包含A[j]的最大i子段和int L[M+1], R[M+1];int MaxMSubSum_1(int i, int j);//自顶向下的备忘录算法   int MaxMSubSum_2(int m, int n);//动态规划：二维数组 int MaxMSubSum_3(int m, int n);//优化的动态规划算法    int MaxMSubSum_4(int m, int n);//动态规划：二维数组，输出子序列  void SearchSubQue(int m, int n, int B[M+1][N+1]);//利用二维数组B[][]查找第i段连续子序列的左右边界   void PrintSubQue(int m); //输出m个子段    int main()  {  int m, n;cin >> m >> n;for (int i=1; i<=n; i++)    cin >> A[i];        int maxSum;maxSum = MaxMSubSum_1(m, n);   //当前面的数是负数时不能全对     for (int j=n-1; j>=m; j--)      {          if (maxSum < B1[m][j])          maxSum = B1[m][j];      }      cout << maxSum << endl; SearchSubQue(m, n, B1); //查找第i段连续子序列的左右边界     PrintSubQue(m);  //输出m个子段           memset(L, 0, sizeof(L));    memset(R, 0, sizeof(R));    maxSum = MaxMSubSum_2(m, n);      cout << maxSum << endl;     SearchSubQue(m, n, B2); //查找第i段连续子序列的左右边界     PrintSubQue(m);  //输出m个子段         maxSum = MaxMSubSum_3(m, n);      cout << maxSum << endl;          return 0;  }    int MaxMSubSum_1(int i, int j)//备忘录算法    {        if (B1[i][j] != 0)         return B1[i][j];            if (i==0 || j<i)      return 0;        if (i == j)//注意这个特殊条件，否则不能得到正解     {B1[i][j] = MaxMSubSum_1(i-1, j-1) + A[j];   }    else      {  int maxSum = MaxMSubSum_1(i, j-1);        for (int k=i-1; k<j; k++)          {              if (maxSum < MaxMSubSum_1(i-1, k))                 maxSum = B1[i-1][k];          } B1[i][j] = maxSum + A[j];       }              return B1[i][j];    }      int MaxMSubSum_2(int m, int n)//动态规划：二维数组    {    int maxSum;    for (int i=1; i<=m; i++)      {  B2[i][i] = B2[i-1][i-1] + A[i];        for (int j=i+1; j<=n; j++)          {  maxSum = B2[i][j-1]; //默认A[j]和A[j-1]同属于第i个子序列             for (int k=i-1; k<j; k++)              {                  if (maxSum < B2[i-1][k])  maxSum = B2[i-1][k];              }            B2[i][j] = maxSum + A[j];         }      }      //遍历B2[m][j]，找到最大值     maxSum = B2[m][n];    for (int j=m; j<n; j++)    {if (maxSum < B2[m][j])  maxSum = B2[m][j];}           return maxSum;    }      int MaxMSubSum_3(int m, int n)//优化的动态规划算法    {           for (int i=1; i<=m; i++)      {  cur[i] = cur[i-1] + A[i];        for (int j=i+1; j<=n; j++)           {              cur[j] = max(pre[j-1], cur[j-1]) + A[j];        }        pre[i] = cur[i];        for (int j=i+1; j<=n; j++)           {              pre[j] = max(cur[j], pre[j-1]);//更新pre[j]        }    }                  return pre[n];    }void SearchSubQue(int m, int n, int B[M+1][N+1])//利用二维数组B[][]查找第i段连续子序列的左右边界   {      int maxSum;      int left, right;            for (int i=m,j=n; i>0; i--,j=left-1)      {          maxSum = B[i][j];           right = j;          for (int k=j; k>=i; k--) //查找第i段连续子序列和的最大值和对应右边界          {              if (B[i][k] > maxSum)              {                  maxSum = B[i][k];                  right = k;              }          }           left = right; //查找第i段连续子序列的左边界          while (left>=i && B[i][left-1]>0 && B[i][left-1]>B[i-1][left-1])          {              left--;          }                     L[i] = left;          R[i] = right;       }  }void PrintSubQue(int m) //输出m个子段  {for (int i=1; i<=m; i++) //输出m段子序列       {          cout << i << " : " << "("; int s = A[R[i]];         for (int j=L[i]; j<R[i]; j++)          {              cout << A[j] << ", "; s += A[j];         }          cout << A[R[i]] << ") = " << s << endl;       }  }