递归与动态规划---最长递增子序列问题

【问题】
给定数组arr，返回arr的最长递增子序列

【基本思路】

首先介绍时间复杂度为O(N^2)的方法。具体过程如下：

1. 生成长度为N(arr的长度)的数组dp，dp[i]表示在以arr[i]结尾的情况下，arr[0…i]中的最长子序列。

2. dp[0]表示以arr[0]结尾的情况下最长子序列，只有它自己，设为1

3. 对于dp的其他位置，从左到右依次遍历，假设遍历到i，首先在arr[0…i-1]中找到比arr[i]小且相应的dp值最大的位置记为j，arr[j]即为以arr[i]结尾的倒数第二小的数，此时dp[i]的值便可以确定，dp[i] = dp[j] + 1。如果arr[0…i-1]中没有比arr[i]小的值，则dp[i]直接记为1。

接下来就是利用生成好的dp数组得到最长的递增子序列。

首先遍历找到dp数组中的最大值maxlen以及下标index，其中maxlen就是最长递增子序列的长度，arr[index]就是最长递增子序列的最后一个数字，然后从index向前遍历数组arr，找到比arr[index]小的数arr[j]并且dp[j] + 1 = dp[index],这个值就是子序列的倒数第二个数，依次向前遍历即可得到最长递增子序列。

以下是使用python3.5实现的代码

#最长递增子序列def getMaxSubList1(arr):    def getdp(arr):        dp = [1 for i in range(len(arr))]        for i in range(len(arr)):            for j in range(i):                if arr[i] > arr[j]:                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)        return dp    def generateLIS(arr, dp):        maxlen = 0        index = 0        for i in range(len(dp)):            if dp[i] > maxlen:                maxlen = dp[i]                index = i        lis = [ for i in range(maxlen)]        lis[maxlen-1] = arr[index]        maxlen -= 1        for i in range(index, -1, -1):            if arr[i] < arr[index] and dp[i]+1 == dp[index]:                lis[maxlen-1] = arr[i]                maxlen -= 1                index = i        return lis    if arr == None or len(arr) == 0:        return None    dp = getdp(arr)    return generateLIS(arr, dp)

接下里介绍一个时间复杂度为O(NlogN)的方法。
该方法是在生成dp数组的时候利用二分查找来进行优化，通过另外一个辅助数组ends完成。ends[b]的含义为遍历到目前位置，长度为b + 1的子序列的最小结尾。过程如下：

1. 生成长度为Ｎ的dp数组和ends数组，令dp[0] = 1，ends[0] = arr[0]。
2. 从左到右遍历arr的剩余部分，假设遍历到位置i，首先在ends中已有的数值中找第一个比arr[i]大的数的位置k(使用二分查找)，把该位置的数替代为arr[i]，dp[i] = k + 1。依次遍历即可得到dp数组。

def getMaxSubList2(arr):    def getdp2(arr):        dp = [0 for i in range(len(arr))]        ends = [0 for i in range(len(arr))]        right = 0        dp[0] = 1        ends[0] = arr[0]        for i in range(1, len(arr)):            l = 0            r = right            while l <= r:                m = (l + r) // 2                if arr[i] > ends[m]:                    l = m + 1                else:                    r = m - 1            right = max(right, l)            dp[i] = l + 1            ends[l] = arr[i]        return dp    def generateLIS(arr, dp):        maxlen = 0        index = 0        for i in range(len(dp)):            if dp[i] > maxlen:                maxlen = dp[i]                index = i        lis = [0 for i in range(maxlen)]        lis[maxlen-1] = arr[index]        maxlen -= 1        for i in range(index, -1, -1):            if arr[i] < arr[index] and dp[i]+1 == dp[index]:                lis[maxlen-1] = arr[i]                maxlen -= 1                index = i        return lis    if arr == None or len(arr) == 0:        return None    dp = getdp2(arr)    return generateLIS(arr, dp)