递归与动态规划---最长公共子序列问题

【题目】

　　给定两个字符串str1和str2，返回两个字符串的最长公共子序列。

【举例】

　　str1 = “1A2C3D4B56”，str2 = “B1D23CA45B6A”.
　　“123456”或者“12C4B6”都是最长公共子序列，返回哪一个都行

【基本思路】

如果str1和str2的长度分别为N，M，生成N×M的矩阵dp，dp[i][j]的含义是str1[0…i]与str2[0…j]的最长公共子序列，dp[i][j]的计算如下：

1. 矩阵的第一行表示str1[0]与str2[0…j]的最长公共子序列问题，当str1[0]与str2[j]相等时，dp[0][j] = 1

2. 矩阵的第一列同上，当str2[0]与str1[i]相等时，dp[i][0] = 1

3. 矩阵的其他位置，dp[i][j]的值可能来自以下的三种情况：
   　可能是dp[i-1][j], 代表str1[0…i-1]与str2[0…j]的最长公共子序列长度。
   　可能是dp[i][j-1], 代表str1[0…i]与str2[0…j-1]的最长公共子序列长度。
   　如果str1[i] == str2[j]，还可能是dp[i-1][j-1] + 1。
   选择三种情况中最大的作为dp[i][j]的值

接下来根据str1、str2和dp表就可以得到最长的公共子序列。具体方法如下：

　　 从dp矩阵的右下角开始，如果该位置的值等于相邻左边的值，左移；如果该位置的值等于相邻上方的值，上移；如果既不能左移也不能上移，此处的值便是最长公共子序列的末尾值，保存此位置的值，然后向左上角移动。按照上述步骤依次移动便可以得到最长的公共子序列。

下面是使用python3.5实现的代码

#最长公共子序列问题def maxCommonSubSerial(str1, str2):    def getdp(str1, str2):        dp = [[0 for i in range(len(str2))] for j in range(len(str1))]        dp[0][0] = 1 if str1[0] == str2[0] else 0        for i in range(1, len(str2)):            dp[0][i] = max(dp[0][i-1], 1 if str1[0] == str2[i] else 0)        for i in range(1, len(str1)):            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], 1 if str1[i] == str2[0] else 0)        for i in range(1, len(str1)):            for j in range(1, len(str2)):                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])                if str1[i] == str2[j]:                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1, dp[i][j])        return dp    if str1 == None or str2 == None or str1 == "" or str2 == "":        return ""    dp = getdp(str1, str2)    m = len(str2) - 1    n = len(str1) - 1    res = [0 for i in range(dp[n][m])]    index = dp[n][m] - 1    while index >= 0:        if n > 0 and dp[n][m] == dp[n-1][m]:            n -= 1        elif m > 0 and dp[n][m] == dp[n][m-1]:            m -= 1        else:            res[index] = str1[n]            index -= 1            m -= 1            n -= 1    return ''.join(res)