递归与动态规划---最长公共子串问题

【题目】

　　给定两个字符串str1和str2，返回两个字符串的最长公共子串。

【举例】

　　str1 = “1AB2345CD”，str2 = “12345EF”，返回”2345”。

【基本思路】

　　假设str1的长度为N，str2的长度为M，生成N×M的矩阵dp，dp[i][j]的含义是必须以str1[i]和str2[j]结尾的最长公共子串的长度，dp[i][j]的计算方法如下：

　　１．矩阵的第一行。如果str1[0] == str2[j]，此时以str1[0]和str2[j]结尾的最长公共子串就是它们自身，dp[0][j]设为1，其余位置设为0。　　
　　２．矩阵的第一列。如果str1[i] == str2[0]，dp[i][0]设为1，其余位置设为0。　　
　　３． 矩阵的其它位置计算如下：
　　　１）如果str1[i] != str2[j]，说明以str1[i]和str2[j]结尾的子串是不存在的，设为0。
　　　２） 如果str1[i] == str2[j]，说明str1[i]和str2[j]可以作为公共子串的最后一个字符，从最后一个字符向左能扩多大的长度呢？就是dp[i-1][j-1]的值，所以dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

　　生成dp表之后，再得到最长的公共子串就很容易了。
　　dp表中的最大值（假设为dp[x][y]）就是最长公共子串的长度（假设为maxlen），str1中从下标x开始向左数的maxlen个字符就是最长的公共子串。

　　因为dp[i][j]的值只依赖于dp[i-1][j-1]，所以可以用空间压缩的方法将空间复杂度从Ｏ(N*M)降低到Ｏ(1)。

下面是用python3.5实现的代码

#最长公共子串问题#经典动态规划方法。时间复杂度O(M*N)，空间复杂度O(M*N)def maxCommonSubStr(str1, str2):    def getdp(str1, str2):        dp = [[0 for i in range(len(str2))] for j in range(len(str1))]        for i in range(len(str2)):            if str2[i] == str1[0]:                dp[0][i] = 1        for i in range(len(str1)):            if str1[i] == str2[0]:                dp[i][0] = 1        for i in range(1, len(str1)):            for j in range(1, len(str2)):                if str1[i] == str2[j]:                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1        return dp    if str1 == None or str2 == None or str1 == '' or str2 == '':        return ""    dp = getdp(str1, str2)    length = 0    index = 0    for i in range(len(str1)):        for j in range(len(str2)):            if dp[i][j] > length:                length = dp[i][j]                index = i    return str1[index-length+1 : index+1]#动态规划升级版。时间复杂度O(M*N)，空间复杂度O(1)def maxCommonSubStr2(str1, str2):    if str1 == None or str2 == None or str1 == "" or str2 == "":        return ""    maxlen = 0    index = 0    row = 0    col = len(str2) - 1    while row < len(str1):        i = row         j = col        length = 0        while i < len(str1) and j < len(str2):            if str1[i] == str2[j]:                length += 1            else:                length = 0            if length > maxlen:                maxlen = length                index = i            i += 1            j += 1        if col > 0:            col -= 1        else:            row += 1    return str1[index-maxlen+1 : index+1]