123. Best Time to Buy and Sell Stock III（动规的好题）

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most two transactions.

Note:
You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).

class Solution {public:    int maxProfit(vector<int>& prices) {}};

解答：

这个题目可以直接推广到k transactions的情形：

用f[i][j]表示最多i笔交易下在prices[j]处（不包括prices[j]）能取得的最大利润，那么f[i][j]=max(f[i][j-1],p[j]-p[k]+f[i-1][k])，k∈[0,j]

也就是说，在第j天，要么卖掉要么不卖（卖了才会赚钱），如果不卖，f[i][j]和f[i][j-1]一样，如果卖，那么前面一定买过（也就是损失过钱），假设损失的是p[k]，这样，在第j天卖掉东西的情况下赚取的利润就是p[j]-p[k]+f[i-1][k]，其中f[i-1][k]表示做最多i-1笔交易时在p[k]处取得的利润。

这个式子可以改写成：f[i][j]=max(f[i][j-1],max(f[i-1][k]-p[k])+p[j])，k∈[0,j]

改写的理由是：我们需要对p[j]-p[k]+f[i-1][k]取最大值，p[j]是定值，那么只有让f[i-1][k]-p[k]取最大。

AC代码：

class Solution {public:    int maxProfit(vector<int>& prices) {        int tmp,len=prices.size();        int k=2;        vector<vector<int>>dp(k+1,vector<int>(len,0));        if(len<=1)return 0;        for(int i=1;i<=k;i++){            tmp=dp[i-1][0]-prices[0];            for(int j=1;j<len;j++){                dp[i][j]=max(dp[i][j-1],prices[j]+tmp);                tmp=max(tmp,dp[i-1][j]-prices[j]);            }        }        return dp[k][len-1];    }};