[SMOJ2083]篝火晚会

首先考虑无解的情况。显然，如果目标环存在，则一定有解。否则无解，可以进行一次遍历，如果能够正好经过 N 个点，则有解，否则无解。

接下来，就可以根据所构造的环，考虑花费。来看下面这个例子（为了方便，破成链表示）：
原环：1 2 3 4
目标：3 2 4 1

显然，2 已经在目标位置，如果将其移动，肯定会没有必要的额外花费。考虑 1，它要去向 4 的位置，因此 b 数组为 {1， 4}，而当 4 的位置被占了之后，它要去向 3 的位置，因此 b 为 {1, 4, 3}，3 要去向 1 的位置，发现形成了一个环，调整结束，费用为 b 数组的大小（同时也是环的长度），即 3。

可以发现，每个人到达目标位置的代价都是 1，而且到达之后不再移动，而是把原来所在的那个人“挤走”，让他自己找位置去。一轮重复下来可以发现，其实不在原位人数就是费用。但是要注意题目是一个环，上面只是为了方便表示，破成了一种可能的链。事实上，形如 2 4 1 3 或者 4 1 3 2 也是可能的。
这样就要通过枚举开头破环，扫一遍算花费，取个 min 就行了。需要注意的是，环的方向可以有正反两种，都要考虑。时间复杂度 O(n2)。这是 30% 的做法。

上面的思路，是直接算“不在位人数”作为花费。如果逆向思考，发现“n-在位人数”的方法也应该是可行的。要最小化花费，应该找到一个合适的匹配位置，使在位人数尽可能多。幸运的是，可以发现，对于环中的每个人，能使其保持不动的开头有且只有一种。
例如：（target 是把环展开了，有 4 种可能的开头，最后一个 1 打多了）

简单地推一下就可以发现，记 ci 为目标环中第 i 位的人，那么把开头放在 ci−i 处时，当前的人不用移动。

这样，就可以考虑计算对于最终环中的每个人，将开头放在什么位置可以使其不用移动。最后在所有情况中选择不用移动的人最多的，用 n 减去，就是答案。同样注意需要考虑正反两种情况。
时间复杂度为 O(n)。

这题知道了正解之后看似不难（然而比赛的时候我还是没想出来），不过仔细品味一下，其实里面有一种方法还是很重要的，即通过枚举来破环。往往我们对于一些无法直接解决的限制，可以考虑利用枚举来突破，有时可以取得很好的效果。

参考代码：

#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 5e4 + 100;int n;int wishcnt[MAXN], wish1[MAXN][2],  wish2[MAXN][2]; //被多少人希望，自己希望谁，谁希望自己bool init() {    scanf("%d", &n);    for (int i = 1; i <= n; i++) {        scanf("%d%d", &wish1[i][0], &wish1[i][1]);        if (wishcnt[wish1[i][0]] == 2 || wishcnt[wish1[i][1]] == 2) return false; //不可能有超过 2 个人同时希望与一个人坐        wish2[wish1[i][0]][wishcnt[wish1[i][0]]++] = wish2[wish1[i][1]][wishcnt[wish1[i][1]]++] = i;        for (int j = 0; j < 2; j++) { //自己希望的人是否希望自己            if (wish1[i][j] > i) continue;            bool ok = false;            for (int k = 0; k < 2; k++)                if (wish1[wish1[i][j]][k] == i) ok = true;            if (!ok) return false;        }        for (int j = 0; j < wishcnt[i]; j++) //希望自己的人是否被自己所希望            if (wish2[i][j] != wish1[i][0] && wish2[i][j] != wish1[i][1]) return false;    }    return true;}int circle[MAXN], start[MAXN][2];bool vis[MAXN];int solve() {    if (!init()) return -1;    circle[1] = 1; circle[2] = wish1[1][0]; vis[circle[1]] = vis[circle[2]] = true;    //circle 为调整后的环    for (int i = 2; i < n; i++) {        if (circle[i - 1] == wish1[circle[i]][0]) circle[i + 1] = wish1[circle[i]][1];        else if (circle[i - 1] == wish1[circle[i]][1]) circle[i + 1] = wish1[circle[i]][0];        else return -1;        vis[circle[i + 1]] = true;    }    for (int i = 1; i <= n; i++) if (!vis[i]) return -1;    int ans1 = 0, ans2 = 0;    for (int i = 1; i <= n; i++) {        ans1 = max(ans1, ++start[(circle[i] - i + n) % n][0]); //正        ans2 = max(ans2, ++start[(circle[n - i + 1] - i + n) % n][1]); //反    }    return n - max(ans1, ans2);}int main(void) {    freopen("2083.in", "r", stdin);    freopen("2083.out", "w", stdout);    printf("%d\n", solve());    return 0;}