bzoj2301 莫比乌斯反演+分段优化

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题意：

给定整数a,b,c,d,k，求a≤x≤c,  b≤y≤d(1≤a,b,c,d,k≤5×104)且gcd(x,y)=k的数对(x,y)有多少对.

思路：

这个题比hdu1695 复杂一点，hdu1695可以看一下这里
和hdu1695相比，由于没有了a=c=1这个条件，需要在莫比乌斯反演的基础上容斥一下
莫比乌斯反演：

g(n)=∑n|df(d)⟺f(n)=∑n|dμ(dn)g(d)

设f(n)代表   gcd(x,y)=n   的（x，y）的对数
设g(n)代表gcd(x,y)%n=0  的（x，y）的对数
这样就有了

g(n)=∑n|df(d)

然后利用反演公式，因为g(n)非常的好求，g(n)=cn×dn
根据上述的反演公式直接计算就可以了
关于容斥，假设solve(m,n)代表1≤x≤m, 1≤y≤m的(x,y)的对数
则 ans=solve(b,d)−solve(a,d)−solve(b,c)+solve(a,c)

但是上述这些还不足以AC，会TLE
我们还需要用分段来优化一下枚举因子的倍数的过程

for(int i=1,nex;i<=a;i=nex+1){     nex = min(a/(a/i),b/(b/i));     res += 1LL *(mu[nex]-mu[i-1])*(a/i)*(b/i);}

这里的mu数组是莫比乌斯函数的前缀和
需要注意的是，若n/i=t,则t是满足a*i<=n的a的最大值，则n/(n/i)就是满足商为n/i的i的最大值
上述代码中，i~nex这一段中a/i的值相同，b/i也是

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具体代码如下：
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#include<bits/stdc++.h>typedef long long ll;using namespace std;const int maxn=5e4+5;bool vis[maxn];int prime[maxn];int mu[maxn];int n,a,b,c,d,k,x;ll ans;void mobius(){    memset(vis,0,sizeof vis);    mu[1] = 1;    int tot = 0;    for(int i=2;i<maxn;i++)    {        if( !vis[i] )        {            prime[tot++] = i;            mu[i] = -1;        }        for(int j=0;j<tot;j++)        {            if(i * prime[j] >=maxn) break;            vis[i * prime[j]] = true;            if( i % prime[j] == 0)            {                mu[i * prime[j]] = 0;                break;            }            else                mu[i * prime[j]] = -mu[i];        }    }    for(int i=2;i<maxn;i++)        mu[i]+=mu[i-1];}ll solve(int a,int b){    ll res = 0;    if(a>b)swap(a,b);    for(int i=1,nex;i<=a;i=nex+1)    {        nex = min(a/(a/i),b/(b/i));        res += 1LL *(mu[nex]-mu[i-1])*(a/i)*(b/i);    }    return res;}int main(){    mobius();    int T;    cin>>T;    while(T--)    {        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);        a--;        c--;        n = min(b,d);        ans = solve(b/k,d/k)+solve(a/k,c/k)-solve(a/k,d/k)-solve(c/k,b/k);        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}