【微观】微观经济分析笔记（一）

Hal R. Varian 的 Microeconomic Analysis 一书的读书笔记。

1. 技术

• 技术的 monotonicity 单调性: If x is in V(y) and x′≥x, then x′ is in V(y).
• 技术的 convexity: If x and x′ are in V(y), then tx+(1−t)x′ is in V(y) for all 0≤t≤1. That is, V(y) is a convex set.
• 技术的 regular：V(y) is a closed, nonempty set for all y≥0.
• 技术替代率 technical rate of substitution (TRS)： dx2dx1=−∂f/∂x1∂f/∂x2
• 替代弹性 elasticity of substitution: σ=Δ(x2/x1)x2/x1ΔTRSTRS，衡量当产出保持不变时，要素比率的百分比变动除以技术替代率的百分比变动。
• 规模弹性 elasticity of scale: e(x)=dy(t)dtty∣∣t=1.
• k 次齐次函数 homogeneous of degree k: If f(tx)=tkf(x) for all t≥0.
• 位似函数 homothetic function: A homothetic function is a monotonic transformation of a function that is homogeneous of degree 1. 就是对一个 1 次齐次函数再做一个单调变换。也就是说能写成 f(x)=g(h(x)) 的形式，其中 h(⋅) 是一次齐次的， g(⋅) 是单调函数。

• 不变替代弹性/CES 生产函数 constant elasticity of substitution or CES production: y=[a1xρ1+a2xρ2]1ρ，它具有不变的替代弹性 11−ρ.

• Convex production set implies convex input requirement set. If the production set Y is a convex set, then the associated input requirement set, V(y), is a conva set. 如果生产集是凸的，那么它的投入要求集也是凸的。

• Convex input requirement set is equivalent to quasiconcave production function. V(y) is a convex set if and only if the production function f(x) is a quasiconcave function. 投入要求集是凸的，等价于生产函数是 quasiconcave（拟凹）的。

2. 利润最大化

利润函数：

• 利润最大化问题可以表述为：
  
  π(p)=maxpysuch that y is in Y
  
  π(p) 被称为厂商的利润函数。
• 如果只有一种产出，利润函数就是 π(p,w)=maxpf(x)−wx.
• 利润最大化的一阶条件是 pDf(x∗)=w, 其中 Df(x∗)=(∂f(x∗)∂x1,⋯,∂f(x∗)∂xn).
• 利润最大化的二阶条件是，生产函数的 Hessian 矩阵在最优点是 negative semidefinite 的，即 D2f(x∗)=(∂2f(x∗)∂xixj) 满足对所有的向量 h 都有 hD2f(x∗)hT≤0.

要素需求函数与厂商供给函数

• 要素需求函数 x(p,w).
• 厂商供给函数 y(p,w)=f(x(p,w)).

常规解法下可能带来的4个问题：

1. 该技术可能不能由可微生产函数来描述，如里昂惕夫技术。
2. 一些变量在最优选择处取零值，此时要用 KKT 条件。
3. 可能不存在利润最大化的生产计划。The only nontrivial profit-maximizing position for a constant-returns-to-scale firm is one involving zero profits.
4. 即使利润最大化的生产计划存在时，它也可能是不唯一的。比如规模报酬不变的技术，如果它无论选择生产多少都获得零利润，那么它的利润最大化生产计划就不唯一。

需求函数的比较静态分析

多个投入

假设有多个投入，一个产出，对于利润函数 π(p,w)=maxpf(x)−wx ，最大化问题的比较静态分析如下：
先将价格 p 正规化为 1，那么一阶条件是

Df(x(w))−w≡0

将该式对 w 进行微分，有

D2f(x(w))Dx(w)−I≡0

，即

Dx(w)≡[D2f(x(w))]−1

二阶条件要求， Hessian 矩阵 D2f(x(w)) 是 negative semidefinite 的，替代矩阵 Dx(w) 也是 negative semidefinite 的。

两个投入

可以看一下在两个投入的情形下的比较静态分析：
先将价格 p 正规化为 1，那么一阶条件是 Df(x(w))=(∂f(x1,x2)∂x1,∂f(x1,x2)∂x2)≡(w1,w2)，将该式对 (w1,w2) 求导，得到 ⎛⎝⎜⎜⎜f11∂x1∂w1+f12∂x2∂w1f21∂x1∂w1+f22∂x2∂w1f11∂x1∂w2+f12∂x2∂w2f21∂x1∂w2+f22∂x2∂w2⎞⎠⎟⎟⎟=(1001)，若 Hessian 矩阵严格负定（因此满秩），则可以得到 ⎛⎝⎜⎜⎜∂x1∂w1∂x2∂w1∂x1∂w2∂x2∂w2⎞⎠⎟⎟⎟=(f11f21f12f22)−1，左边就是替代矩阵。

利润最大化弱公理 WAPM

• 利润最大化弱公理 Weak Axiom of Profit Maximization (WAPM)：ptyt≥ptys for all t and s=1,…,T.

3. 利润函数

利润函数 π(p)=maxxpy,y∈Y，有如下性质：

• Nondecmsing in output prices, nonincreasing in input prices. If p′i≥pi for all outputs and p′j≤pj for all inputs, then π(p′)≥π(p).
• Homogeneous of degree 1 in P. π(tp)=tπ(p) for all t≥0. 即是价格 p 的一次齐次函数。
• Convex in p. Let p′′=tp+(1−t)p′ for 0≤t≤1. Then π(p′′)≤tπ(p)+(1−t)π(p′).
• Continuous in p. The function π(p) is continuous, at least when π(p) is well-defined and pi>0 for i=1,…,n.

利润函数是价格的一次齐次、凸、连续函数。

Hotelling’s lemma 霍特林引理

Hotelling’s lemma (The denvatzve property) Let yi(p) be the firm’s net supply function for good i. Then

yi(p)=∂π(p)∂pii=1,…,n

assumzng that the derivative exists and that pi>0.
如何证明？直接用 the envelope theorem （包络定理）即可。利润函数 π(p)=maxpy(p) 是一个最大值函数，即对任意给定的 p，有对应的 y 使它达到最大值。根据包络定理， ∂π(p)∂pi=∂py∂pi∣∣y=y(p)=yi(p)，或直接对整个求导 dπ(p)dp=∂py∂p∣∣y=y(p)=y(p).

利润函数的比较静态分析

根据 Hetelling’s lemma，利润函数的 Hessian 矩阵就是替代矩阵，也必定是一个对称的半正定矩阵。
比如两物品下，有

⎛⎝⎜⎜⎜⎜∂2π∂p21∂2π∂p2p1∂2π∂p1p2∂2π∂p22⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜∂y1∂p1∂y2∂p1∂y1∂p2∂y2∂p2⎞⎠⎟⎟⎟

The Le Chatelier principle

李·查特里原理，即化学中的勒夏特列原理。
短期利润函数用 πS(p,z) 表示，其中的 z 是某个固定的生产要素。设在长期中，该要素的需求为 z(p)，那么长期利润函数就是 πL(p)=πS(p,z(p)).
在某个给定价格 P⋆ 下，z 要素的需求是 z(p⋆)，由于长期利润总是至少与短期利润一样大，对于任意价格 p，有

h(p)=πL(p)−πS(p,z(p⋆))=πS(p,z(p))−πS(p,z(p⋆))≥0

在 p=p⋆ 时，h(p) 达到最小值。此时：

• 一阶导数为零，由 Hotelling’s lemma 推出每种物品的长期和短期供给相同。
• 二阶导数非负，再由 Hotelling’s lemma，推出
  
  dyL(p⋆)dp−∂yS(p⋆,z(p⋆))∂p≥0

对于价格变动，长期供给的反应，至少与短期供给反应一样大。

4. 成本最小化

成本最小化问题

寻找成本最小化问题的解：

minxwxsuch thatf(x)=y

条件要素需求函数

Conditional factor demand function (条件要素需求函数) w(x,y).

利润最大化问题中的4个问题，在成本最小化问题中会有对应的问题吗？

1. 该技术可能不能由可微生产函数来描述，如里昂惕夫技术。
2. 一些变量在最优选择处取零值，此时要用 KKT 条件。
3. 可能不存在利润最大化的生产计划。但在成本最小化问题中，一般不会有这样的问题，因为连续函数 wx 在闭且有界的集合中能取到极大值和极小值。那么闭集 V(y) 是有界的吗？不一定，但可以再取它的一个有界子集，如选取任意 x 设 x′，考虑集合 {x in V(y):wx≤wx′}，它一定是有界的。
4. 一阶条件不能决定厂商单一的全局最优位置，成本最小化问题中也是，除非 V(y) 对成本最小化问题是凸的，才能保证是全局最优。

条件要素需求函数的比较静态分析

首先有恒等式和成本最小化问题的一阶条件：

f(x(w,y))≡yw−λDf(x(w,y))≡0

由于在比较静态分析中，y 是保持不变的，因此在下面的计算中，我们将它省略。
对 w 求导：

Df(x(w))Dx(w)=0I−λD2f(x(w))Dx(w)−Df(x(w))Dλ(w)=0

整理一下：

(0−Df(x)T−Df(x)−λD2f(x))(Dλ(w)Dx(w))=(0−I)

如果有正常的最优解，满足 bordered Hessian 矩阵是 nondegenerate 的，那么有：

(Dλ(w)Dx(w))=(0Df(x)TDf(x)λD2f(x))−1(0I)

Bordered Hessian matrix 是对称的，那么它的逆也是对称的，替代矩阵 D(x(w)) 负半定。要素需求的交叉价格效应是对称的。
在两种投入品时，设

H=∣∣∣∣∣0−f1−f2−f1−λf11−λf21−f2−λf12−λf22∣∣∣∣∣

这是个最小化问题，因此由二阶条件可知，bordered Hessian matrix H 是正定的，所以它的每一阶主子式都是负的，即有 H<0. 可以用 Cramer’s rule，得出 ∂x1∂w1=f22H<0，∂x2∂w1=−f2f1H>0，∂x1∂w2=−f1f2H>0.
但当有多于两种物品时，它们中任意两个之间的交叉价格效应的方向不确定。

成本最小化弱公理 WACM

• 成本最小化弱公理 Weak Axiom of Cost Minimization (WACM)：wtxt≤wtxs for all s and t such that ys≥yt.

5. 成本函数

• Cost function (成本函数) 可以表示为条件要素需求函数值：c(w,y)=wx(w,y).
• 如果生产函数规模报酬不变，成本函数又可写成 c(w,y)=yc(w,1).
• 由 L’Hopital’s rule，limy→0cv(y)y=c′v(0)1，即平均可变成本在零产出时等于边际成本。
• 成本函数关于要素价格的特性，即它是关于要素价格的非减、一次齐次、凹、连续函数：
  
  • Nondecreasing in w. If w′≥w, then c(w′,y)≥c(w,y).
  • Homogeneous of degree 1 in w. c(tw,y)=tc(w,y) for t>0. 一次齐次函数。
  • Concave in w. c(tw+(1−t)w′,y)≥tc(w,y)+(1−t)c(w′,y,) for 0≤t≤1. 关于要素价格的凹函数。
  • Continuous in w. c(w,y) is continuous as a function of w, for w≫0.

Shephard ‘s lemma

Shephard’s lemma (The derivative property) Let xi(w,y) be the firm’s conditional factor demand for input i. Then if the cost function is differentiable(可微的) at (w,y), and wi>0 for i=1,…,n then

xi(w,y)=∂c(w,y)∂wii=1,…,n

如何证明？使用 envelope theorem for constrained optimization （约束最优化下的包络定理）即可。具体证明见下。

The envelope theorem for constrained optimization

约束最优化下的包络定理的一般情况是怎样的呢？
问题的形式：

M(a)=maxx1,x2g(x1,x2,a) such that h(x1,x2,a)=0

设出 Lagrangian function L=g(x1,x2,a)−λh(x1,x2,a)，这里的三个变量 λ,x1,x2，可以由三个一阶条件解出来，得到 x1(a) 和 x2(a)，因此最大值函数就是 M(a)≡g(x1(a),x2(a),a)，将该函数对 a 求导：

dM(a)da=∂L(x,a)∂a∣∣x=x(a)=∂g(x1,x2,a)∂a∣∣xi=xi(a)−λ∂h(x1,x2,a)∂a∣∣xi=xi(a)

Shephard ‘s lemma 的证明

问题的形式是：

c(w1,w2,y)=minx1,x2w1x1+w2x2 such that f(x1,x2)=y

直接应用约束最优化下的包络定理：

∂c(w1,w2,y)∂wi=∂(w1x1+w2x2)∂wi∣∣xi=xi(w1,w2,y)−λ∂(f(x1,x2)−y)∂wi=xi(w1,w2,y)∂c(w1,w2,y)∂y=∂(w1x1+w2x2)∂y−λ∂(f(x1,x2)−y)∂y=λ

第一个式子就是 Shephard’s lemma，第二个式子说明，成本最小化问题中的拉格朗日乘数，它的意义就是边际成本。

6. 对偶

• the cost function of a firm summarizes all of the economically relevant aspects of its technology.
• Constant returns to scale. Let V(y) be convex and monotonic; then if c(w,y) can be written as yc(w), V(y) must exhibit constant returns to scale.

• Let ϕ(w,y) be a differentiable(可微的) function satisfying

  1. ϕ(tw,y)=tϕ(w,y) for all t≥0;
  2. ϕ(w,y)≥0 for w≥0 and y≥0;
  3. ϕ(w′,y)≥ϕ(w,y) for w′≥w;
  4. ϕ(w,y) is concave in w.
     Then ϕ(w,y) is the cost function for the technology defined by V⋆(y)={x≥0:wx≥ϕ(w,y), for all w≥0}.