01背包问题

问题描述：

有n件物品，它们的重量分别是w1，w2，w3...wn，他们的价值分别是c1，c2，c3...cn，现有一个m容量的背包，选择n件物品装入背包，求能装入背包的最大价值。

01背包是最基本的背包问题，特点是：每一种物品只有一件，可以选择放入背包或者不放背包。(也是决策）

通常，状态可以根据问题所求来得出，题目求n件物品放入容量m的背包可以获得的最大价值，可以转换为前i件物品放入j容量的背包的最大价值的子问题。

因此，设f[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包的最大价值。则状态转移方程就是：

f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]}.

如何理解f[i-1][j],和f[i-1][j-w[i]]+c[i]?

前i-1个物品已经放入了容量j的背包中，第i件物品就有两种选择，放或者不放。

f[i-1][j]表示第i件物品不放入背包中f，[i][j]=f[i-1][j]：

不放入有两种情况，一是背包容量不够（例如背包容量为5，第i件物品的重量为7，选择不放入）

二是放入第i件物品背包的价值小于不放入的价值，选择不放入（例如背包容量为8，第一件c1=6,w1=10,第二件c2=7,w2=8...第i件ci=8，wi=9，选择放入第一件，不放入第i件）

f[i-1][j-w[i]]+c[i]表示第i件物品放入背包中，f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+c[i]：

所以最大价值就是没放入之前的最大价值f[i-1][j-w[i]]，加上放入第i件物品的价值c[i]，即f[i-1][j-w[i]]+c[i]

总共两种情况，要求最大值，就选择两者中最大的一个，即：f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]}

参考程序：

f[i][j]表示前i件物品放入容量j背包的最大值，因此i的范围0-n,j的范围为0-m.

#include<iostream>using namespace std;int f[550][550],w[550],c[550];int main(){int m,n;cin>>m>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>c[i];for(int i=0;i<=n;i++)//物品{for(int j=m;j>=0;j--)//容量{if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);elsef[i][j]=f[i-1][j];//如果背包容量j小于物品容量，就不放入}}cout<<f[n][m]; return 0;}

使用二维数组f[n][m]时，当n或者m太大，空间会超出限制。其实，也可以用一维数组来进行求解。

用f[j]表示容量j的能装的最大价值。

同理，f[j]=max{f[j],f[j-w[i]]+c[i]}

#include<iostream>using namespace std;int f[550],w[550],c[550];int main(){int m,n;cin>>m>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>c[i];for(int i=1;i<=n;i++)//物品 {for(int j=m;j>=0;j--)//容量，逆序 {if(j>=w[i])f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);}}cout<<f[m]; return 0;}

为什么必须要逆序呢？

举一个例子大家就明白了：

假设背包容量是m=10

三件物品

w1=5，c1=20

w2=6，c2=10

w3=4，c3=12

当i=1：

f[10]=max{f[10],f[5]+20}=20

f[9]=max{f[9],f[4]+20}=20

f[8]=max{f[8],f[3]+20}=20

f[7]=max{f[7],f[2]+20}=20

f[6]=max{f[6],f[1]+20}=20

f[5]=max{f[5],f[0]+20}=20

j12345678910f[j]0000202020202020

当i=2：

f[10]=max{f[10],f[4]+10}=20

f[9]=max{f[9],f[3]+10}=20

f[8]=max{f[8],f[2]+10}=20

f[7]=max{f[7],f[1]+10}=20

f[6]=max{f[6],f[0]+10}=20

j12345678910f[j]0000202020202020

当i=3：

f[10]=max{f[10],f[6]+12}=32

f[9]=max{f[9],f[5]+12}=32

f[8]=max{f[8],f[4]+12}=20

f[7]=max{f[7],f[3]+12}=20

f[6]=max{f[6],f[2]+12}=20

f[5]=max{f[5],f[1]+12}=20

f[4]=max{f[4],f[0]+12}=12

j12345678910f[j]00012202020203232

f[10]就是背包容量最大时的最大值，容量大的值取决于容量小的值，不断更新容量大的值，所以必须逆序。

如果顺序，一个物品就可能被放入多次。

用同样的例子可以分析：

for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=0;j<=m;j++)//顺序{if(j>=w[i])f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);}}

当i=1；

f[5]=max{f[5],f[0]+20}=20

f[6]=max{f[6],f[1]+20}=20

f[7]=max{f[7],f[2]+20}=20

f[8]=max{f[8],f[3]+20}=20

f[9]=max{f[9],f[4]+20}=20

f[10]=max{f[10],f[5]+20}=40

j12345678910f[j]0000202020202040

可以看出问题来了，f[10]=f[5]+20=40，相当于第一件物品拿了两次，显然不符合题意。

因此，必须逆序。