关于欧拉函数的一个性质

来源：互联网发布：php九九乘法表右对齐编辑：程序博客网时间：2024/04/29 07:16

昨天，有一个人过来问我，如何证明

\sum d | n ϕ (d) = n

毫无头绪，一群人乱搞乱搞，一个晚上都没证出来。于是决定组队去请(bei)教(diao)PhilipsWeng大犇。大犇愣了三秒（注意，3s），然后给出了一种高级的证法：
已知

ϕ (n) = \sum i = 1 n e ((i, n))

然后

e (n) = \sum d | n μ (d)

所以

\sum d | n ϕ (d) = \sum d | n \sum i | d μ (i) ⌊ d i ⌋

= \sum i | n μ (i) \sum d' | n i d'

= \sum d' | n d' \sum i | n d μ (i)

= n

看懂了之后，我突发奇想，想出了一种神奇的证明方法:
设

f(n)=∑d|nϕ(d) ,

n=∏ki=1peii
根据莫比乌斯反演的充分必要性，

ϕ(n)为积性函数，

f(n)也为积性函数（不要问我，问度娘）
所以

f (n) = \prod i = 1 k f (p e i i)

然后

f (p k) = \sum i = 0 k ϕ (p i)

= 1 + \sum i = 1 k (p - 1) * (p i - 1)

= 1 + (p - 1) * p k - 1 p - 1

= 1 + p k - 1

= p k

所以

f (n) = \prod i = 1 k p e i i

= n

得证

2 0