行列式

一. 线性变换

线性变换是基础

线性变换有 3 个基本点：变换前是直线的，变换后依然是直线；直线比例保持不变；变换前是原点的，变换后依然是原点 。

就是说，在平移和旋转之前，直线段 AB : BC : CD = 1 : 1 : 1 ， 图形中心点在原点, 则平移和旋转之后，直线段比例和图形中心点保持原状 。

三. 矩阵

矩阵是线性变换的数值体现

二. 行列式

性质上，行列式是线性变换的缩放因子（以简单的面积考虑）

1. 矩阵 A 对应的行列式值等于 1 时，图形进行矩阵变化后，图形的面积保持不变，同理大于 1 时，对图形有放大作用，小于 1 时，对图形有缩小作用

2. 矩阵 A 对应的行列式值等于 0 时，图形进行矩阵变化后，图形面积会变成 0，相当于一个点或者一条直线，此时对其乘以矩阵 B , 不管矩阵 B 对应的行列式的值多么大，乘以 0 之后，结果也是 0,  也就无法逆变换成原始图形了，即所谓的“矩阵 A 不可逆”

3. 矩阵 A 对应的行列式值小于 0 时，图形进行矩阵变化后，图形相当于翻了个面，然后进行其对应值的缩放

综上，从矩阵与线性变换的同构来解释，行列式就是矩阵对应的线性变换对空间的拉伸程度的度量，是物体经过线性变换前后的体积比

四. 其他

基于上面的认知，则会有相应的推论：

1. 矩阵乘法交换率一般不成立，即 T1 T2 ≠ T2 T1。试想，T1 标识顺时针旋转 15 度，T2 标识以 X 轴做对称翻转，两种运算的顺序对结果影响很大。

2. 矩阵乘法交换率的行列式值是相等的，即 det( T1 T2 ) = det( T2 T1) 。试想，两个缩放因子相乘。

参考：

1. https://www.zhihu.com/question/36966326 

2. https://baike.baidu.com/item/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/2010180?fr=aladdin