行列式

今天学习了用行列式高斯消元的方法， 非常的神奇！

以下为转载

对于AX=B。的n个n元方程组。


高斯消元的过程是将A加上B，变成扩展矩阵。然后将之变换位上三角矩阵。O（n^3）的变化。大致思路就是选择枚举n行，计算该n以下的所有行，将之对应的将第i列消为0，


不过枚举n行的时候要主要先预处理一下使该行要交换的数值不为0。


消去的过程中，比较偷懒的方法是直接用double，不过基本是不现实的，剩下的就是用lcm来保证能够消掉。这样肯定可以保证精度，但是数字容易 越来越大，很快就会破int 甚至int64，2008年的哈尔滨的D题就是利用高精度来实现n<=100内的高斯消元。不过我遇到的不少题目，都是同余方程，方程两边就是同余 相同，比如开关问题之类的。


成为上三角矩阵后，就可以判断方程组解的情况，随便翻下书就可以知道矩阵的秩决定着无解，以及自由变量的情况，自由变量为0就是唯一解，自由变量不为0，就是无穷解。


这时候求解就有两种方程，很多网上流传的gauss版本就是直接开始求解。利用从n到1的逆循环，一个一个求解迭代，然后可以得到所有解。不过这不 是一个好方法，利用那道高精度的高斯消元，然后利用迭代的，中间的解就会出现分数，不得不利用分数类来解决，反而增加了代码量和复杂性。


我的模版利用的是将上三角矩阵继续化解，化成下下三角矩阵，也就能得到对称矩阵。然后就是n个形如ax=b，超简单的式子，这样都不用分数类就可以解决了。


刚才提到高斯消元的题目由于数据规模的关系，虽然复杂度只有(N^3），但是由于精度，以及乘法容易爆int的关系，一般都是同余方程，那么最后就是化解成为了 ax=b（mod c），利用欧几里德扩展算法就可以轻松解决了。


但很多情况，不单单就解一个线性方程组就可以了，往往需要对解或解的个数进行适当的分析。


PKU 2065 ..最简单的就是高斯消元+解同余方程，注意看清题意以及输入转换成矩阵。


PKU1222 可以搜索过，但是正确性和复杂度以及运算时间都是不能和高斯消元比的。先列方程。就是30个30元的方程组。由于可逆矩阵的唯一性，解是唯一的。。不过还 没证明是否一定有解，，不过貌似输入的所有数据都是有唯一解，，属于简单练模版题，注意这里的同余方程的mod 为2，可以医用位运算，不过高斯消元已经很快了。


PKU1830 注意建方程即可，和1222一个样，不过所求的就是解的个数，刚才提到线性方程组可能有无穷解。但在同余条件下，解的个数还是有限的，虽然这个题和 1222类似，但是明显比1222更少的人AC了，关键可能就是对于高斯消元无穷解的产生的概念有所生疏，无穷解的产生主要是自由变量的个数的原因，顾名 思义，自由变量就是可以任意取值的变量，自由变量的取值个数最后解的个数，由于是同余方程，自由变量的组合就有 （mod）^ (自由变量的个数)。。这个题里面就是1<<（n-方程的秩）


PKU1681 ..和1222一个模子印出来的，好像状态DP和搜索都可以过，但我用高斯消元很轻松就可以16ms过了。有点不同的这里要求所需要开灯的个数，mod还 是2，就是最后解不为0的个数，一开始有点没想通，怎么判断解不为0的个数，其实最后只需要将（可开可不开的那些灯）自由变量，都关，然后就过了，不知道 这样数学上能不能用归纳法得出其中的贪心性质，保证最小个数。


高斯消元法(Gauss Elimination) 分析 & 题解 & 模板——czyuan原创
高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。


以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。


首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)


1. 把方程组转换成增广矩阵。


2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。


3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。


① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。


② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。


③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。


以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。




下面讲解几道OJ上的高斯消元法求解线性方程组的题目：


POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 开关问题
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830


POJ 3185 The Water Bowls


http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
开关窗户，开关灯问题，很典型的求解线性方程组的问题。方程数和变量数均为行数*列数，直接套模板求解即可。但是，当出现无穷解时，需要枚举解的情况，因为无法判断哪种解是题目要求最优的。


POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程组问题。与一般求解线性方程组的问题类似，只要在求解过程中加入取余即可。
注意：当方程组唯一解时，求解过程中要保证解在[3, 9]之间。


POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
经典的BFS问题，有各种解法，也可以用逆矩阵进行矩阵相乘。
但是这道题用高斯消元法解决好像有些问题(困扰了我N天...持续困扰中...)，由于周期4不是素数，故在求解过程中不能进行取余(因为取余可能导致解 集变大)，但最后求解集时，还是需要进行取余操作，那么就不能保证最后求出的解是正确的...在discuss里提问了好几天也没人回答...希望哪位路 过的大牛指点下～～


POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同样是求解同余方程组问题，由于题目中的p是素数，可以直接在求解时取余，套用模板求解即可。(虽然AC的人很少，但它还是比较水的一道题，)


POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻烦的一道题目...题目中的叙述貌似用到了编译原理中的词法定义(看了就给人不想做的感觉...)
解方程组的思想还是很好看出来了(前提是通读题目不下5遍...)，但如果把树的字符串表达式转换成方程组是个难点，我是用栈 + 递归的做法分解的。首先用栈的思想求出该结点的孩子数，然后递归分别求解各个孩子。
这题解方程组也与众不同...首先是求解浮点数方程组，要注意精度问题，然后又询问不确定的变元，按前面说的方法求解。
一顿折腾后，这题居然写了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA，G++ AC，可能还是精度的问题吧...看这题目，看这代码，就没有改的欲望...


hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈尔滨现场赛的一道纯高斯题，当时鹤牛敲了1个多小时...主要就是写一个分数类，套个高精模板(偷懒点就Java...)搞定～～
注意下0和负数时的输出即可。


fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月赛的一道题目，还是经典的开关问题，但是方程数和变元数不同(考验模板的时候到了～～)，最后要求增广阵的阶，要用到高精度～～


Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
题解:
http://hi.baidu.com/czyuan%5Facm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html


这里提供下自己写的还算满意的求解整数线性方程组的模板(浮点数类似，就不提供了)～～


/* 用于求整数解得方程组. */


#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;


const int maxn = 105;


int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
int free_num;


void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}


inline int gcd(int a, int b)
{
int t;
while (b != 0)
{
t = b;
b = a % b;
a = t;
}
return a;
}


inline int lcm(int a, int b)
{
return a * b / gcd(a, b);
}


// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
int Gauss(void)
{
int i, j, k;
int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
int col; // 当前处理的列.
int ta, tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
// 转换为阶梯阵.
col = 0; // 当前处理的列.
for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
{ // 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r = k;
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{
if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
}
if (max_r != k)
{ // 与第k行交换.
for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
}
if (a[k][col] == 0)
{ // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
k--; continue;
}
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{ // 枚举要删去的行.
if (a[i][col] != 0)
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
for (j = col; j < var + 1; j++)
{
a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
}
}
}
}
Debug();
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++)
{ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为自由变元的个数.
if (k < var)
{
// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
for (i = k - 1; i >= 0; i--)
{
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
}
return var - k; // 自由变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}


int main(void)
{
freopen("Input.txt", "r", stdin);
int i, j;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(x, 0, sizeof(x));
memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
//        Debug();
free_num = Gauss();
if (free_num == -1) printf("无解!\n");
else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if (free_num > 0)
{
printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++)
{
if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
for (i = 0; i < var; i++)
{
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}

/* czyuan原创，转载请注明出处。*/

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;


// 有equ个方程，var个变量。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
const int MAXN = 105;
int equ, var; 
int a[MAXN][MAXN], x[MAXN]; // 解集.
bool freeX[MAXN]; // 判断是否是不确定的变量.


inline int gcd ( int a, int b )
{
if ( b == 0 ) return a;
return gcd ( b, a % b );
}


inline int lcm ( int a, int b )
{
return a * b / gcd(a, b);
}




// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).
//-2表示有浮点数解，但无整数解//-1表示无解//0表示唯一解//大于0表示无穷解，并返回自由变量的个数
int Gauss ()
{
int i, j, mr, row, col;
int ta, tb, LCM, temp;
int freeX_num, free_index;
for ( row = col = 0; row < equ && col < var; row++, col++ )
{ 
mr = row;
for ( i = row + 1; i < equ; i++)
if ( abs(a[i][col]) > abs(a[mr][col]) ) mr = i;

if ( mr != row )
for ( j = col; j <= var; j++ )
swap ( a[row][j], a[mr][j] );
if ( a[row][col] == 0 ) { row--; continue; }


for ( i = row + 1; i < equ; i++ )
{ 
if ( a[i][col] != 0 )
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[row][col]));
ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[row][col]);
if ( a[i][col] * a[row][col] < 0 ) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
for ( j = col; j <= var; j++ )
a[i][j] = a[i][j] * ta - a[row][j] * tb;
}
}
}
//Debug();
//无解的情况
for ( i = row; i < equ; i++ )
if ( a[i][var] != 0 ) return -1;

//无穷解的情况，把能够确定的值求出来，并返回自由变量的个数。（自由变量不求）
if ( row < var )
{
for ( i = row - 1; i >= 0; i--)
{
for ( j = 0; j < var; j++ )
if ( a[i][j] != 0 && freeX[j] )
freeX_num++, free_index = j;
if ( freeX_num > 1 ) continue; // 未知量个数大于1，无法求解出确定的变量.


temp = a[i][var];
for ( j = 0; j < var; j++ )
if ( a[i][j] != 0 && j != free_index ) 
temp -= a[i][j] * x[j];


x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变量.
freeX[free_index] = 0; // 该变量是确定的.
}
return var - row; // 自由变量有var - row个.
}


//唯一解的情况
for ( i = var - 1; i >= 0; i-- )
{
temp = a[i][var];
for ( j = i + 1; j < var; j++ )
if ( a[i][j] != 0 ) temp -= a[i][j] * x[j];
if ( temp % a[i][i] != 0 ) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}




/*模7环上的高斯消元
int Gauss ()
{
int i, j, mr, row, col;
int ta, tb, l, tmp;
row = col = 0;
while ( row < equ && col < var )
{
mr = row;
for ( i = row + 1; i < equ; i++ )
if ( abs(a[i][col]) > abs(a[mr][col]) ) mr = i;


if ( mr != row )
for ( j = col; j <= var; j++ )
swap ( a[row][j], a[mr][j] );
if ( a[row][col] == 0 ) { col++; continue; }


for ( i = row + 1; i < equ; i++ )
{
if ( a[i][col] != 0 )
{
l = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[row][col]));
ta = l / abs(a[i][col]), tb = l / abs(a[row][col]);
if ( a[i][col] * a[row][col] < 0 ) tb = -tb;
for ( j = col; j <= var; j++ )
a[i][j] = ((a[i][j]*ta-a[row][j]*tb)%7+7) % 7;
}
}
row++; col++;
}
    
for ( i = row; i < equ; i++ )
if ( a[i][var] != 0 ) return -1;


if ( row < var )
return var - row;


for ( i = var - 1; i >= 0; i-- )
{
tmp = a[i][var];
for ( j = i + 1; j < var; j++ )
tmp = ((tmp-a[i][j]*x[j])%7+7)%7;
        while ( tmp % a[i][i] != 0 ) tmp += 7;
x[i] = ( tmp / a[i][i] ) % 7;
}
return 0;
}*/