2017.8.18 总结

今天的题….难到一种境界，有些人做了一半就咸（qi）鱼（liao）了，有些人看了题直接不写了（雾），我虽然坚持到了最后，但我……也才60分qwq…….

T1

题意：有两个人在玩石头剪刀布的游戏。游戏分每轮进行，一轮有n局游戏，每局胜者得1分，平局都不得分，分数高者赢得此轮，分数相同则此轮作废。任意时刻如果A比B多赢m1轮，则A获胜；如果B比A多赢m2轮，则B获胜。现在已知B每一局出石头，剪刀，布的概率，且不同的两轮中的同一局B出石头剪刀布的概率是相等的，求最优策略下A的获胜概率。

思路：一般..对于这些求期望与概率的题..我都是不抱有什么希望的，于是…通过puts("1.00000");拿到了10分，233333。

题解：因为B每轮策略相同，所以在A选择最优策略的情况下，每一轮A和B的胜率及平局概率就是确定的，设他们的胜率分别为p和r。因为平局对局面没有影响，所以我们修改一下轮的定义：一轮是指双方不断游戏，直到有一方赢得一轮为止的一个过程。那么新的一轮A的胜率q就是p÷(p+r)。
接下来先说说20分：
前20分n很小，结合上面的分析我们可以暴力求出每轮的胜率q。知道了q之后，设a[i]表示A和B获胜轮数差为i时A的胜率，那么有a[m1]=1,a[−m2]=0，注意我们是要倒推出a[0]。所以其他的有a[i]=a[i+1]∗q+a[i−1]∗(1−q)，用高斯消元求出a[0]即是答案。
再来说说另外30分：
因为双方都只要赢一轮就可以赢得游戏，所以我们只要求出赢一轮的概率q即可，这也是问题的关键所在。观察q的表达式：q=pp+r=1−rp+r=1−1(1+pr)，要让q更大，就要让pr更大。设k=pr，k是一个分数的形式，我们可以考虑用分数规划来求，设当前二分的值为t，那么我们只要判断p−t∗r是否大于0就可以知道t比要求的k是偏大还是偏小了。这样我们可以定义A胜一轮得1分，B胜一轮得t分（对A来说是−t分），倒着DP一遍就可以找到一个最优策略使p−t∗r最大了。DP状态f[i][j]的含义就是表示第i局时双方胜的局数差为j时最大的p−t∗r。
然后其实满分做法就根据上面两个做法来就行了。

T2

题意：有一位神犇想在n天内刷k道题，但他刷的都是神题，一天只能想一道题或者做一道题（同一天内可以想一道和做一道），显然，一道题必须先想再做。假设神题都是一样的，然后这n天里，第i天想一道题的代价为a[i]，做一道题的代价为b[i]。求花费最小的代价让神犇在这n天里刷完这k道神题。

思路：当时我的思路就是mcmf（最小费用最大流）+特判，拿了40分。最小费用最大流的做法就是考虑建立费用流模型，把第i天拆成ai和bi，分别表示想和写，然后源向ai连流量为1，费用为a[i]的边，ai向bj（满足i≤j）连流量为1，费用为0的边，bi向汇连流量为1，费用为b[i]的边，因为只要做k道题，加个点限制下源的流量跑最小费用流即可。

题解：如果把想题看成“（”，把写题看成“）”，则费用流每次增广其实就是加入一对“（）”或“）（”，且要保证当前这个括号序列合法,即序列的前缀和si在任意位置都大于等于0。设左括号的位置是posa，右括号的位置是posb，假如选择加入“（）”，那么[posa,posb)的si要+1，假如选择加入“）（”，那么[posb,posa)的si要−1，且这一段减完后要≥0,即原来的[posb,posa)的最小值要>0。然后用线段树维护几个东西就好了，接下来留给读者一些想象空间，自己想一想改用什么方法qwq（好吧其实是作者太懒…）。

T3

题意：给你一个n，表示一共有n个点，再给你一个半矩阵，即一共n−1行，第i行有n−i个数，第1行表示从点1到2∼n各个点的距离，第i行表示从点i到(i+1)∼n的各个点的距离。现在让你把n个点分为两个集合，每个集合的值val为在该集合中的所有点之间两点的距离最大，求两个最大值之和最小。

思路：当时我就打了个O(2n)的暴力，拿了10分qwq…

题解：假设我们已经枚举了D(A)和D(B)，我们认为D(A)是更大的那一个，这就是一个2−SAT问题。枚举D(A)，二分D(B)，再利用单调性去掉log，可以做到O(n4)。这个解法有40分。然后，我们考虑哪些边才有可能成为A的最大边：
1.对于图中的一个偶环，其中的最短边才不可能成为A中的最大边，因为当它的两个端点都在A时，偶环上一定存在另外一条权值比他大的边，它的两个端点都在A集合。
2.对于图中的一个奇环，至少有一条边它的两个端点在同一个集合。所以奇环上的最小边会成为A最大边的下界。于是，我们将可能成为一个集合最大边的候选边集的大小缩小到了O(n)级别：把边从大到小排序，考虑加入一条新的边，如果它的两个端点不在同一个连通块，可以直接加入候选边集；如果在同一个连通块且没有形成奇环，直接忽略，如果形成奇环，将它加入候选边集并停止算法，因为这将成为一个集合最大边的下界，套用前面的算法，我们可以做到O(n3logn)，就可以过了。