bzoj3675 [ APIO2014 ] -- 斜率优化DP

令fi,j表示前 j 个数分割 i 次的答案，si表示前缀和。可以得到DP方程：

fi,j=max(fi−1,k+sk×(si−sk)),k<j

然后考虑斜率优化。
j<k且 j 比 k 优的条件是：

fi−1,j+sj×(si−sj)>fi−1,k+sk×(si−sk)

si×(sj−sk)>s2j−fi−1,j−s2k+fi−1,k

si<s2j−fi−1,j−(s2k−fi−1,k)sj−sk

将s2j−fi−1,j作为点 j 的 y 坐标，sj 作为 x 坐标。就相当于 j 到 k 的斜率大于 si ，用凸包维护即可。由于空间不够，还要用滚动数组优化。

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100010#define ll long longinline char nc(){    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}inline void Read(ll& x){    char c=nc();    for(;c<'0'||c>'9';c=nc());    for(x=0;c>='0'&&c<='9';x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=nc());}struct Node{    ll x,y;    Node(ll x=0,ll y=0):x(x),y(y){}    Node operator - (Node a){        return Node(x-a.x,y-a.y);    }}ch[N],T;ll f[2][N],s[N];int i,j,k,n,m,p,t,w[N];bool b;inline bool Check(Node a,Node b){    return (double)a.x*b.y>=(double)a.y*b.x;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(i=1;i<=n;i++)Read(s[i]),s[i]+=s[i-1];    for(i=1;i<=m;i++,b^=1){        k=t=0;        for(j=1;j<=n;j++){            while(k>t)k--;            while(k<t&&ch[k+1].y-ch[k].y<s[j]*(ch[k+1].x-ch[k].x))k++;            f[b][j]=f[b^1][w[k]]+s[w[k]]*(s[j]-s[w[k]]);            T.x=s[j];T.y=s[j]*s[j]-f[b^1][j];            while(t&&Check(T-ch[t-1],ch[t]-ch[t-1]))t--;            ch[++t]=T;w[t]=j;        }    }    printf("%lld\n",f[b^1][n]);    return 0;}