最大团,最大独立集

最大团,最大独立集

最大独立集：一个图中最大的互相没有边相连的点集。

结论：原图的最大独立集等于补图的最大团

经典的NP完全问题,只有暴力解,时间复杂度O(n2^n)

对于无向图来说

所谓最大团, 其实就是找一个最大完全子图,最大就是包含的点最多.

而最大独立集== 补图的最大团

这里使用深度优先搜索实现,对于每一个结点,考虑要与不要两种状态,则问题构成一个子集树,本质上与01背包一样,只不过多了联通性的判断

// 最大独立集的做法，求出最大独立集，并且打印方案

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include<vector> 

using namespace std; 

vector<vector<int> > G;

int n, m;

int color[123];

vector<int> rec;

int maxnum;

void dfs(int u,int _count) {

    if (_count > maxnum) {//更新答案

        maxnum = _count;

        rec.clear();

        for (int i = 1;i <= n;++i) {

            if (color[i]) rec.push_back(i);

        }

    }

    if (u == n + 1) return ;

    //用于判断是否可以染成黑色

    bool ok = true;

    for (int i = 0;i < G[u].size();++i) {

        if (color[G[u][i]]) ok = false;

    }

    if (ok) {//u节点可以染成黑色

        color[u] = 1;

        dfs(u + 1, _count + 1);

        color[u] = 0;

    }

    dfs(u + 1, _count);//u染成白色－>跳过

}

int main(int argc, const char * argv[])

{

    int t, u, v;

    cin >> t;

    while(t--) {

        scanf("%d%d", &n, &m);

        G.clear();

        G.resize(n + 2);

        while(m--) {

            scanf("%d%d", &u, &v);

            G[u].push_back(v);

            G[v].push_back(u);

        }

        memset(color, 0,sizeof color);

        maxnum = 0;

        dfs(1, 0);

        printf("%d\n", maxnum);

        for (int i = 0;i < rec.size();++i)

            printf("%d%c", rec[i], i == maxnum - 1?'\n':' ');

    }

    return 0;

}

//用最大团求最大独立子集 

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

int N, M, mp[105][105];

int ret, cnt, opt[105], st[105];

void dfs(int x) {

    if (x > N) { // 如果枚举了所有的节点 

        ret = cnt;

        memcpy(opt, st, sizeof (st)); // 用一个更大的极大团替代原有的极大团 

        return;

    }

    int flag = true;

    for (int i = 1; i < x; ++i) { // 检测新加入的点是否到团中的其他节点都存在一条边 

        if (st[i] && !mp[i][x]) {

            flag = false;

            break;

        }

    }

    if (flag) { // 如果该节点满足在这个团中 

        st[x] = 1, ++cnt; // 该节点被加入到完全子图中去

        dfs(x + 1);

        st[x] = 0, --cnt;

    }

    if (cnt+N-x > ret) { // 跳过x节点进行搜索同时进行一个可行性判定 

        dfs(x + 1);

    }

}

int main() {

    int T, x, y;

    scanf("%d", &T);

    while (T--) {

        ret = cnt = 0;

        scanf("%d %d", &N, &M);

        memset(st, 0, sizeof (st));

        for (int i = 0; i < 105; ++i) {

            fill(mp[i], mp[i]+105, 1);

        }

        while (M--) {

            scanf("%d %d", &x, &y);

            mp[x][y] = mp[y][x] = 0;

        }

        dfs(1);

        printf("%d\n", ret);

        for (int i = 1, j = 0; i <= N; ++i) {

            if (opt[i]) {

                printf(j == 0 ? "%d" : " %d", i);

                ++j;

            }    

        }

        puts("");

    }

    return 0;    

}