51nod1119 机器人走方格 v2 费马小定理求逆元

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1119 机器人走方格 V2

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 10 难度：2级算法题

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M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

Input示例

2 3

Output示例

3

题解：向右总共走n-1，向左总共走m-1，总步数就是n+m-1。所以答案就是C(n+m-1,n-1)，n+m-2步中挑其中n-1步向右。本题数据较大，不可以通过单纯求组合数的公式(杨辉三角或者单个暴力)或者dp。从组合数公式入手，由于除法不可取余，需要求逆元。根据费马小定理有：a和n互质，那么a^(n-1)=1(mod n)。所以a*a^(n-2)=1%(mod n)，即a的逆元就是a^(n-2)。

代码：

#include<set>#include<map>#include<stack>#include<queue>#include<vector>#include<string>#include<bitset>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>#include<ctime>#include<iomanip>#include<iostream>#define debug cout<<"aaa"<<endl#define d(a) cout<<a<<endl#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define LL long long#define lson l,mid,root<<1#define rson mid+1,r,root<<1|1#define MIN_INT (-2147483647-1)#define MAX_INT 2147483647#define MAX_LL 9223372036854775807i64#define MIN_LL (-9223372036854775807i64-1)using namespace std;const int N = 100000 + 5;const LL mod = 1000000000 + 7;const double eps = 1e-8;LL quick(LL a,LL b){LL ans=1;while(b){if(b&1){ans=(ans*a)%mod;}a=(a*a)%mod; b>>=1;}return ans;}LL F(LL x){LL ans=1;for(LL i=2;i<=x;i++){ans=(ans*i)%mod;}return ans;}int main(){//C(n+m-2,n-1)LL n,m,ans;scanf("%lld%lld",&n,&m);ans=F(n+m-2);ans=(ans*quick(F(n-1),mod-2))%mod;ans=(ans*quick(F(m-1),mod-2))%mod;ans=(ans+mod)%mod;printf("%lld\n",ans); return 0;}