三种LCA算法（三）：转化为LCA问题（dfs+ST表实现）

转化为RMQ问题也是比较常用的LCA算法之一，大多采用dfs+ST表实现，在线算法，复杂度为O（n + nlogn + Q），Q为查询次数。在线算法里，dfs+ST表算法比Doubly算法快。

算法流程：

1.对树进行dfs，将遍历到的节点按照顺序记下，将得到一个长度为2*n - 1的序列。

2.每个节点都在序列中出现，我们记录节点u第一次在序列中出现的位置为first[u]。

3.根据dfs的性质，对于两节点u、v，从first[u]遍历到first[v]的过程会经过LCA（u，v），他的深度是从min（first[u]，first[v]）到max（first[u]，first[v]）序列中最小的。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;int n;//前向星存树int cnt, head[1005];struct edges {int to, next;}edge[2010];//遍历信息int tot, path[2010], depth[2010], first[1005];//path：遍历路径 depth：路径上的点的深度 first：节点在路经中首先出现的位置//ST表信息int dp[2010][15], upper[2010];void add(int x, int y) {//树加边cnt++;edge[cnt].to = y;edge[cnt].next = head[x];head[x] = cnt;}void dfs(int x, int fa, int dep) {path[++tot] = x; depth[tot] = dep, first[x] = x;for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {int y = edge[i].to;if (y != x) {dfs(y, x, dep + 1);path[++tot] = x;depth[tot] = dep;}}}void init() {//ST表相关准备upper[0] = -1;for (int i = 1; i < 2010; i++) {upper[i] = i &(i - 1) == 0 ? upper[i - 1] + 1 : upper[i - 1];}}void ST() {//建ST表int k = upper[tot + 1];for (int i = 0; i <= tot; i++) {dp[i][0] = i;}for (int i = 1; i <= k; i++) {for (int j = 0;j + (1 << i) - 1 <= tot; j++) {int a = dp[j][i - 1];int b = dp[j + (1 << (i - 1))][i - 1];dp[j][i] = depth[a] < depth[b] ? a : b;}}}int rmq(int le, int rig) {//转化为rmq问题int k = upper[rig - le + 1];int a = dp[le][k];int b = dp[rig - (1 << k) + 1][k];return depth[a] < depth[b] ? a : b;}int lca(int x, int y) {//lca问题x = first[x];y = first[y];if (x > y) swap(x, y);return path[rmq(x, y)];}int main() {int Q;int a, b;init();while (scanf("%d%d", &n, &Q) != EOF) {cnt = 0;memset(head, 0, sizeof(head));for (int i = 0; i < n - 1; i++) {scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b);add(b, a);}tot = -1;dfs(0, -1, 0);//假设0为树根ST();for (int i = 0; i < Q; i++) {scanf("%d%d", &a, &b);printf("%d\n", lca(a, b));}}return 0;}