排序算法之归并排序及利用归并排序求逆序数

排序算法之归并排序

1. 自顶向下的归并排序

中心思想

将待排序的数组平均切分为两半，将前半部分和后半部分分别进行排序，再讲两个有序数组归并到一个数组中

特点

递归，需要额外的空间（辅助数组）来保存切分完成的子数组，主要难点在于合并

操作步骤

• 将待排序数组均分为两半
• 对前半部分进行排序
• 对后半部分进行排序
• 合并两个子数组
• 递归调用以上过程

代码实现

public void sort(int[] a){    int N = a.length;;    int b = new int[N];//创建辅助数组    sort(a, 0, N-1);}public void sort(int[] a, int low, int high){    if (low >= high) {        return;    }    int mid = (low + high) / 2;//均分数组    sort(a, low, mid);//排前半部分    sort(a, mid, high);//排后半部分    merge(a, low, high, mid);//归并}private void merge(int[] a, int low, int high, int mid){    for(int i = low; i <= high; i++) {        b[i] = a[i];    }//将a[low...high]复制到b[low...high]    int j = low;//扫描左半部分    int k = mid + 1;//扫描右半部分    for(int i = low; i <= high; i++){        // 从b[low...high]中依次取出较小的元素放入a[low...high]        if (j > mid) {            a[i] = b[k++];//若左半部分元素用尽，取右半部分元素        } else if (k > high) {            a[i] = b[j++]//若右半部分元素用尽，取左半部分元素        } else if (b[j] < b[k]) {            a[i] = b[j++];//两半部分元素都未用尽时，取较小的        } else {            a[i] = b[k++];        }    }}

2. 自底向上的归并排序

特点

不切分数组，直接两两归并（将每个元素当做大小为1的子数组）、四四归并（将两个大小为2的子数组归并为一个大小为4的数组）…最后对整个数组归并

优点

相对于自顶向下的归并，代码量少

代码实现

public void sort(int[] a){    int N = a.length;    int b[] = new int[N];    sort(a, 0, N-1);}private void sort(int[] a, int low, int high){    //sz为子数组的大小，依次为1,2,4,8...N    for(int sz = 1; sz < N; sz = sz + sz){    //i为子数组的索引，而子数组大小为N，因而当i移动到靠近边界时边界元素的索引要满足i+sz<N        for(int i = low; i < N - sz; i = i + sz + sz){            //当数组大小不是2的偶数倍时，最后一个子数组会比前一个要小，导致该子数组的索引不满足i+2sz-1，而是N-1            merge(a, i, min(i+2sz-1, N-1), i+sz-1);            //当N为2的偶数倍时，mid=(i+(i+2sz-1)-1)/2；非偶数倍时，mid=(i+N-1-1)/2,而i<N-sz,可推出此种情况下，(i+(i+2sz-1)-1)<(i+N-1-1)，即N为偶数倍，mid可取mid=(i+(i+2sz-1)-1)/2        }    }}

归并排序的应用-求逆序数

逆序数指的是逆序数对的个数，在一个序列a[0, 1, 2, …N]中，对任意的i和j，如果i < j且a[i] > a[j],则a[i]和a[j]为逆序数对，一个队列中所有的逆序数对数量之和即为该序列的逆序数。

蛮力法求逆序数

for(int i = 1; i < N; i++){    for(int j = i - 1; j >= 0; j-- ){        if(a[i] < a[j]){            count++;        }    }}

显然两个循环的存在导致此法复杂度为n的平方。

利用归并排序

merge过程中，由于两个子数组（假设为A和B）已各自有序，用i扫描A，用j扫描B，某次循环中，若a[i] > a[j]，则该次循环中得到的逆序数count = A.length - i。对count进行累加后即可得到总逆序数。
由于归并排序时间复杂度为NlogN（数学问题，本文不做证明），因而优于蛮力法。

实现方式

只需在merge方法中计算逆序对数量即可

private void merge(int[] a, int low, int high, int mid){    for(int i = low; i <= high; i++) {        b[i] = a[i];    }//将a[low...high]复制到b[low...high]    int j = low;//扫描左半部分    int k = mid + 1;//扫描右半部分    for(int i = low; i <= high; i++){        // 从b[low...high]中依次取出较小的元素放入a[low...high]        if (j > mid) {            a[i] = b[k++];//若左半部分元素用尽，取右半部分元素        } else if (k > high) {            a[i] = b[j++]//若右半部分元素用尽，取左半部分元素        } else if (b[j] < b[k]) {            a[i] = b[j++];//两半部分元素都未用尽时，取较小的        } else {            a[i] = b[k++];            count = count + (mid - low + 1) - j;//累加该次循环的逆序对数量        }    }}