HDU.2588 GCD (欧拉函数)

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题意分析

我怎么也看不出来这是一道欧拉函数的题目，也是参考了别人的解法写的。
题意就是计算1-N区间里有多少数和N的gcd是大于M的。

枚举所有可能情况计算肯定超时。
考虑这样一件事情，我们枚举i∈[1，N],令

N=a∗bi=a∗d

当gcd(N,i)=a，并且a≥M的时候，此时的i明显是符合要求的，但是枚举i丝毫没有降低时间复杂度。于是我们可以想到枚举a。
由于a，b均是N的一个因子，不难得出b=N/a。当a≥M时，根据刚才的条件gcd(N,i)=a，自然可以想到此时的b,d一定是互质的。使得上面式子成立的d有φ(b)个,换句话说，成立的i的个数就有φ(b)个。
这样一来从枚举i，转换成了枚举公因子a，降低了一定的时间复杂度，但是还是不够优秀。我们继续考虑：
手推算几组小数据，就不难发现，其实有重复的枚举，如对于N=10，我们可能枚举到a=2,b=5同时又枚举到了a=5,b=2。
然而这两种情况其实可以在一次枚举中全部计算出来。所以枚举范围a∈[1，sqrt(N)]，当我们计算出其另一个因子，即b=N/a 也大于M的时候，就可以将φ(a)的值累加进ans。

具体写法见代码。

代码总览

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int getPhi(int x){    int ret = x;    for(int i = 2; i * i <= x; ++i)        if(x % i == 0){            while(x % i== 0) x /= i;           ret -= ret / i;        }    if(x > 1) ret -= ret / x;    return ret;}int n,m,t;int main(){    scanf("%d",&t);    while(t--){        int ans =0;        scanf("%d %d",&n,&m);        for(int i = 1;i*i<=n;++i){            if(n % i == 0){                if(n/i >= m) ans+= getPhi(i);                if(i>=m && i*i !=n ) ans+=getPhi(n/i);            }        }        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}