卡特兰数

1.什么是卡特兰数：

　　卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1,1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

2.卡特兰数的公式：

　　(1) h(n)= h(0) * h(n-1)+h(1) * h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)
　　(2) h(n)=h(n-1) * (4 * n-2)/(n+1)
　　(3) h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)
　　(4) h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

3.卡特兰数的应用：

　　以下部分转自： 卡特兰数应用
　　1.出栈次序：
　　a.饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？
　　b.一个有n个1和n个-1组成的字串，且前k个数的和均不小于0，那这种字串的总数为多少？
　　c.P=A1A2A3……An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
　　d.n个人拿5元、n个人拿10元买物品，物品5元，老板没零钱。问有几种排队方式。
　　由于每个拿5元的人排队的次序不是固定的，所以最后求得的答案要 * n!。拿10元的人同理，所以还要 * n!。所以这种变种的最后答案为h(n) * n! * n!
　　2. n个节点的二叉树有多少种构型？
　　3. 有n+1个叶子的满二叉树的个数?
　　
　　4. 在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？
　　
　　5. 将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数？
　　
　　6. 在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？
　　
　　7. n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数？
　　
　　8. 12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？