【洛谷3746】【六省联考2017】组合数问题

题目描述

组合数 CnmC_n^mC​n​m​​ 表示的是从 n 个互不相同的物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子，从 (1;2;3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1;2);(1;3);(2;3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数CnmC_n^mC​n​m​​ 的一般公式：

Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}C​n​m​​=​m!(n−m)!​​n!​​

其中 n! = 1 × 2 × · · · × n。（特别的，当 n = 0 时， n! = 1 ，当 m > n 时，Cnm=0C_n^m =0C​n​m​​=0）

小葱在 NOIP 的时候学习了 CijC_i^jC​i​j​​ 和 k 的倍数关系，现在他想更进一步，研究更多关于组合数的性质。小葱发现， CijC_i^jC​i​j​​ 是否是 k 的倍数，取决于 CijmodkC_i^j mod kC​i​j​​modk是否等于 0，这个神奇的性质引发了小葱对 mod 运算（取余数）的兴趣。现在小葱选择了是四个整数n; p; k; r，小葱现在希望知道

∑i=0infCnkik+rmodp\sum_{i=0}^{\inf} C_{nk}^{ik+r} mod p∑​i=0​inf​​C​nk​ik+r​​modp的值。

输入输出格式

输入格式：

第一行有四个整数 n; p; k;r，所有整数含义见问题描述。

输出格式：

一行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

2 10007 2 0

输出样例#1：

8

输入样例#2：

20 10007 20 0

输出样例#2：

176

说明

• 对于 30% 的测试点， 1 ≤ n; k ≤ 30， p 是质数；

• 对于另外 5% 的测试点， p = 2；

• 对于另外 5% 的测试点， k = 1；

• 对于另外 10% 的测试点， k = 2；

• 对于另外 15% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^3; 1 ≤ k ≤ 50， p 是质数；

• 对于另外 15% 的测试点， 1 ≤ n × k ≤ 10^6， p 是质数；

• 对于另外 10% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^9; 1 ≤ k ≤ 50， p 是质数；

• 对于 100% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^9; 0 ≤ r < k ≤ 50; 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1。

题解

一道矩阵加速的题。

对组合数的一个变形。原组合数公式是f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]。由于这题是i*k+r，所以设f[i][j]表示i个物品中选x个物品，x满足x%k=j，所以f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][(j-1+k)%k]。为什么呢？？由原组合数公式可知，f[i][a*k+j]=f[i-1][a*k+j]+f[i-1][a*k+j-1]。所以sigmaf[i][a*k+j]=sigmaf[i-1][a*k+j]+sigmaf[i-1][a*k+j]。。因为设g[i][j]=sigma(a从0~一个值)f[a*k+j]；（这里g[i][j]含义同上面f[i][j]）。由于j-1会出现负的，也就是当j=0时，表示整除，由杨辉三角可知，前一个是k-1,所以f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][(j-1+k)%k]。

递推式证完了，下面该说怎么推矩阵了。

像这种二维的递推，第一行矩阵一般把第二维都写出来再根据下一个推矩阵。就是由f[i][0],f[i][1],f[i][2].....f[i][k-1]看怎样推成f[i+1][0],f[i+1][1],f[i+1][2]......f[i+1][k-1],自己手推一下矩阵吧。最后结果就是f[0][r].因为第一行是f[i][0],f[i][1]....

下面就是矩阵加速了。。。不再赘述。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std; const int maxn=60;ll n,p,k,r;struct node{ll a[maxn][maxn];}a,b,c,ans;node work(node a,node b){memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(int i=0;i<k;i++)for(int j=0;j<k;j++)for(int q=0;q<k;q++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][q]*b.a[q][j])%p;return c; }void qpow(node a,ll b){while(b){if(b&1) ans=work(ans,a);a=work(a,a);b>>=1;}}int main(){cin>>n>>p>>k>>r;for(int i=0;i<k;i++){a.a[i][i]++;a.a[(i-1+k)%k][i]++;}ans=a;qpow(a,(ll)(n*k-1));printf("%lld\n",ans.a[0][r]);return 0;}