70. Climbing Stairs

Problem:

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

题意很简单，就是给定台阶数，然后每次可以走一步或者两步，问有多少种走法。台阶数大于0。其实这题的结果是一个除去第一项的斐波那契数列，结果是1， 2， 3， 5， 8， 13等等。结果等于前两项的和。一开始想着用递归解决，比较简单。如Code1，发现too young too simple too navie，超时了。

后来就打算换一种方法，一种复杂度为O(n)的方法。就是矩阵运算。

[f(1)]   [0][1]   [f(0)]             [f(n-1)]   [0][1]   [f(n-2)]

       =          *          ……               =        *

[f(2)]   [1][1]   [f(1)]             [f(n)]      [1][1]   [f(n-1)]

然后结果为Code2。

Code1：

class Solution {public:    int climbStairs(int n) {        if (n == 1) {            return 1;        }        if (n == 2) {            return 2;        }        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);    }};

Code2（LeetCode运行3ms)：

class Solution {public:    int climbStairs(int n) {        int Matrix[4] = {0, 1, 1, 1};        int step[2] = {0, 1};        for (int i = 0; i < n; i++) {            MultiplyMatrix(Matrix, step);        }        return step[1];    }    void MultiplyMatrix(int Matrix[], int step[]) {        int s1 = step[0] * Matrix[0] + step[1] * Matrix[1];        int s2 = step[0] * Matrix[2] + step[1] * Matrix[3];        step[0] = s1;        step[1] = s2;    }};

再次看回这道题，打算再用一个更简单的方法去解决：通过数学归纳法解出斐波那契数列的通项公式：

所以直接用cmath头文件里的函数就能解决问题，复杂度是O(1)。

Code3(LeetCode运行0ms)：

class Solution {public:    int climbStairs(int n) {double factor = sqrt(5);    return floor((pow((1 + factor) / 2, n + 1) + pow((1 - factor) / 2, n + 1)) / factor + 0.5);    }};

这一题还有一个比较经典、通用的的做法，就是动态规划。假设楼梯有6个台阶。那么想一下要达到最后一个台阶，前一个状态是什么？可以是在第5个台阶，这时候再走一步就到了。或者在第4个台阶，然后再走两个台阶。所以就是F(6)=F(5) + F(4)。所以状态转移方程是：

1. F(i) = i   (i <= 2)

2. F(i)  = F(i-1) + F(i-2) (i > 2)

所以这就是上面斐波那契解法的由来，动态规划更通用，因为可能步数是可以是其他的取值的。而动态规划还有一个点就是如何去处理转移方程，有人看到式子就会想到递归。但是上面已经写过了，超时了。原因递归的时候是有很多重复的求值过程。例如F(6) = F(5)+F(4), F(5) = F(4)+F(3)， 这里F(4)就重复求值了。所以递归超时了，而这里最好用的就是递推，并且保存下前面求出的值。这题比较简单，只要两个变量就能保存。

Code3(LeetCode运行0ms)：

class Solution {public:    int climbStairs(int n) {        int result = 0;        int temp;        for (int i = 1; i <= n; i++) {            if (i <= 2) {                temp = result;                result = i;            } else {                int tmp = result;                result = temp + result;                temp = tmp;            }        }        return result;    }};