JZOJ 5354. 【NOIP2017提高A组模拟9.9】导弹拦截

Description

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
敌国的导弹形成了立体打击，每个导弹可以抽象成一个三维空间中的点(x; y; z)。拦截系统发射的炮弹也很好地应对了这种情况，每一发炮弹也可以视为一个三维空间中的点。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达三维空间中任意的点，但是以后每一发炮弹到达点的坐标(x; y; z) 的三个坐标值都必须大于前一发炮弹的对应坐标值。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹飞来的坐标，计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。注意: 所有导弹都是同时飞来的。

Input

第一行一个正整数n，表示敌国导弹数目。
接下来n 行，每行三个非负整数xi，yi，zi，表示一个敌国导弹的三维坐标。
数据保证所有的导弹坐标互不相同。

Output

第一行一个整数，表示一套系统最多拦截的导弹数。
第二行一个整数，表示拦截所有导弹最少配备的系统数。

Sample Input

4
0 0 0
1 1 0
1 1 1
2 2 2

Sample Output

3
2

Data Constraint

对于30% 的数据，n <=10
对于100% 的数据，n <= 1000，x; y; z <= 10^6

Solution

• 对于第一问，我们考虑动态规划。

• 先按 x 坐标将导弹从小到大排一遍序，设 F[i] 表示拦截的最后一个导弹为 i 的最大拦截数。

• 则显然有：

  F[i]=Max{F[j]+1}，其中j∈[1,i)，yj<yi，zj<zi

• 难就难在第二问，如何求最小的拦截系统数。贪心？——不行！

• 考虑一个系统在拦截一个导弹 i 后，还能再拦截一个导弹 j ，则点 i 向 j 连一条有向边。

• 这样就形成了一个有向无环图。求有向图的最小覆盖即可（即：多少条不相交路径可以覆盖全图）

• 想到拆点，将一个点拆成两个点：A点（连出点）和B点（连入点），一个点的A连到另一个点的B。

-这样就有 N 个A点和 N 个B点，形成一个二分图。

• 用匈牙利算法求出其最大匹配数 k ，则答案即为 n−k 。（因为每多一个匹配就能少一个系统）

Code

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int N=1001;struct data{    int x,y,z;}a[N];int ans;int b[N<<1][N];int f[N<<1];bool bz[N<<1];inline int read(){    int X=0,w=1; char ch=0;    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();    return X*w;}inline int max(int x,int y){    return x>y?x:y;}inline bool cmp(data x,data y){    return x.x<y.x;}inline bool Hungary(int x){    for(int i=1;i<=b[x][0];i++)        if(!bz[b[x][i]])        {            bz[b[x][i]]=true;            if(!f[b[x][i]] || Hungary(f[b[x][i]]))            {                f[b[x][i]]=x;                return true;            }        }    return false;}int main(){    int n=read();    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].z=read();    sort(a+1,a+1+n,cmp);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=f[i]=1;j<i;j++)            if(a[j].y<a[i].y && a[j].z<a[i].z)            {                f[i]=max(f[i],f[j]+1);                b[j<<1][++b[j<<1][0]]=i<<1|1;            }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(f[i]>ans) ans=f[i];        f[i]=0;    }    printf("%d\n",ans),ans=0;    for(int i=2;i<=n<<1;i+=2)    {        memset(bz,false,sizeof(bz));        if(Hungary(i)) ans++;    }    printf("%d",n-ans);}