BZOJ 2005 能量采集 （Mobius反演）

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列
有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，
表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了
一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20
棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能
量损失。

Input
仅包含一行，为两个整数n和m。

Output
仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4

【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

思路：
<摘自clover_hxy大佬>

推上面的式子需要一个公式 n=sigma d|n phi(d)
这道题就是求 sigma(i=1..n) sigma(j=1..m) 2*(gcd(i,j)-1)+1
2 * sigma(i=1..n) sigma(j=1..m) gcd(i,j) - n*m

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#define LL long longusing namespace std;const int N = 100100;int n, m;LL ans=0;int phi[N], primes[N], ptot;bool isnot[N];void init(int n){    isnot[1] = 1;    phi[1] = 1;    for(int i=2; i<=n; i++){        if( !isnot[i] ){            phi[i] = i-1;            primes[ptot++] = i;        }        for(int t=0; t<ptot; t++){            int j = primes[t] * i;            if(j > n) break;//            isnot[j] = 1;            phi[j] = phi[i] * phi[primes[t]];            if(i % primes[t] == 0){                phi[j] = phi[i] * primes[t];                break;            }        }    }}int main(){    init(100010);    scanf("%d%d", &n, &m);    for(int i=1; i<=min(n,m); i++){        ans += (LL)phi[i] * (LL)(n/i) * (LL)(m/i);    }    ans = 2LL * ans - (LL)n * (LL)m;    cout << ans << endl;    return 0;}