HDU 3401 Trade（用单调队列优化DP）

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题意：给出T天内，每天的股票买卖价格和每天的股票买卖最大数量，而且最多只能拥有maxP数量的股票，开始时有无限本金，任意两次交易需要间隔W天及以上，也就是第i天交易，第i+w+1天及以后才能再交易。问最多能赚多少钱？（题意应该还有一个隐晦的要求是，当天只能买股票或者卖股票，不能同时做）

思路：很明显的DP问题，用dp[i][j]表示第i天拥有j数量股票时的最多赚钱数。容易得到状态转移方程：

（1）当天不买不卖：

dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[i - 1][j]）

（2）买股票：

dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[h][k] - （j - k）* APi[i]），1 <= h <= i - W - 1，0 <= k <= j

（3）卖股票：

dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[h][k] +（k - j）* BPi[i]），1 <= h <= i - W - 1，j < k <= maxP

可以看出，这个状态转移方程变量太多，不便于处理，因此必须进行优化：

优化一：h必需的吗？否

由状态转移方程（1），第i - W - 1天可以看作前一天不买不卖得到的，依次类推，可以看出，之前的都不需要考虑了，只考虑第i - W - 1天的情况即可。

则：

    买股票：

    dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[i - W -1][k] - （j - k）* APi[i]），0 <= k <= j

    卖股票：

    dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[i - W -1][k] +（k - j）* BPi[i]），j < k <= maxP

优化二：优化一后，现在仍需要枚举i、j、k三个量，O（n ^ 3）的复杂度，容易超时。以（2）为例，dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[i - W - 1][k] - （j - k）* APi[i]）= max（dp[i][j]，dp[i - W -1][k] + k * APi[i] - j * APi[i]），符合单调队列优化DP的基本形式：dp[i] = max / min （f[k]）+ g[i]  （k < i && g[i]是与k无关的变量），这样通过单调队列对dp方程进行优化，将O（n）复杂度降至O（1）（均摊），减少k这层枚举，使复杂度达到O（n ^ 2）。

// HDU 3401 Trade 运行/限制：218ms/1000ms#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;#define INF 0X3f3f3f3fint T, maxP, W;//总天数 可拥有股票最多数量int APi[2005],BPi[2005],ASi[2005],BSi[2005];//当天买股票的价格 当天卖股票的价格 当天最多买的股票 当天最多卖的股票int dp[2005][2005];struct node {int num;//股票数量int m;//dp[i - W - 1][k] + k * Api[i]或者 dp[i - W - 1][k] + k * BPi[i]};node queue[2005];int head, tail;int main(){int t;scanf("%d", &t);while (t--) {scanf("%d%d%d", &T, &maxP, &W);for (int i = 1; i <= T; i++) {scanf("%d%d%d%d", &APi[i], &BPi[i], &ASi[i], &BSi[i]);}//初始化dp数组for (int i = 0; i <= T; i++) {for (int j = 0; j <= maxP; j++) {dp[i][j] = -INF;}}//预处理前W+1天for (int i = 1; i <= W + 1; i++) {for (int j = 0; j <= min(maxP,ASi[i]); j++) {//买股票dp[i][j] = -j*APi[i];}}dp[0][0] = 0;for (int i = 1; i <= T; i++) {//天数for (int j = 0; j <= maxP; j++) {//第i天不买不卖dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j]);}if (i - W - 1 <= 0) continue;int pre = i - W - 1;//买股票head = 1;tail = 0;for (int j = 0; j <= maxP; j++) {//股票数量int f = dp[pre][j] + APi[i] * j;while (head <= tail && queue[tail].m <= f) {tail--;}queue[++tail].num = j;queue[tail].m = f;while (head <= tail && queue[head].num + ASi[i] < j) {head++;}dp[i][j] = max(dp[i][j], queue[head].m - APi[i] * j);}//卖股票head = 1;tail = 0;for (int j = maxP; j >= 0; j--) {//股票数量int f = dp[pre][j] + BPi[i] * j;while (head <= tail && queue[tail].m <= f) {tail--;}queue[++tail].num = j;queue[tail].m = f;while (head <= tail && queue[head].num - BSi[i] > j) {head++;}dp[i][j] = max(dp[i][j], queue[head].m - BPi[i] * j);}}int re = -INF;for (int i = 0; i <= maxP; i++) {re = max(re, dp[T][i]);}printf("%d\n", re);}    return 0;}