动态规划--字符串拆分

题目：

某种字符串处理语言允许程序员将一个字符串拆分为两段。由于此操作需要复制字符串，因此要花费n个时间单位来将一个n个字符的字符串拆为两段。假定一个程序员希望将一个字符串拆分为多段，拆分的顺序会影响所花费的总时间。例如，假定这个程序员希望将一个20个字符的字符串在第2个，第8个以及第10个字符后进行拆分(字符由左至右，从1开始升序编号)。如果她按由左到右顺序进行拆分，则第一次拆分花费20个时间单位，第二次拆掉分花费18个时间单位(在第8个字符处拆分3-20间的字符串)而第三次拆分花费12个时间单位，共花费50个时间单位。但如果她按由右至左的顺序进行查分，第一次拆分花费12个时间单位，第二次拆分花费10个时间单位，而第三次拆分花费8个时间单位，共花费38个时间单位。还可以按其他顺序，比如，她可以首先在第8个字符处进行拆分(时间20)，接着在左边一段第2个字符处进行拆分(时间8)，最后在右边一段第10个字符处进行拆分(时间12)，总时间为40.

设计算法，对给定的拆分位置，确定最小代价的拆分顺序，更形式化地，给定一个n个字符的字符串S和一个保存m个拆分点的数组Lm,计算拆分的最小代价，以及最优拆分序列。

分析：

设由Lm将S拆分成m+1个字符串，且每个字符串的长度按顺序排列与tm+1中，令p=m+1。
设Mi,j(0≤i<j<p)代表拆分后的子串i到子串j合并成的串在由Lm拆分时所需的最少时间单位(易知Mi,i=0,i∈{0,1,...,p−1})。

所以，

Mi,j=min{∑k=ijtk+Mi,q+Mq+1,j}, q∈{i,i+1,..,j−1}

自顶向下：

自底向上：