BZOJ4517 排列计数 [组合数][错排]

4517: [Sdoi2016]排列计数

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

5

1 0

1 1

5 2

100 50

10000 5000

Sample Output

0

1

20

578028887

60695423

HINT

Source

代码很简单（毕竟是数论嘛），但是的确不好想。
组合数，O(mod)的方法自学吧，在这里我就错排讲一讲吧，毕竟这题的难点就是错排。
排列中的每个位置pi≠i,那我们就可以考虑补集转化，使排列中至少有一个位置pi=i这个问题我们可以通过容斥得到，所以最终答案就是

f(i)=∑i=0n(−1)in!i!

对于n=1,f(1)=0,对于n>1,归纳:

∑i=0n(−1)in!i!=n∗∑i=0n(−1)i(n−1)!i!+(−1)n=f(n−1)×n+(−1)n

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int N=1e6+20,M=1e6+10,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;template<class T>inline void read(T &res){    static char ch;T flag=1;    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9')if(ch=='-')flag=-1;res=ch-48;    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')res=res*10+ch-48;res*=flag;}long long T,f[N],fac[N],n,m;long long inv(long long x){    long long y=mod-2,ans=1;    while(y){        if(y&1)ans=ans*x%mod;        x=(x*x)%mod;        y>>=1;    }    return ans;}void init(){    fac[0]=1;    for(register int i=1;i<=M;i++)        fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;    f[0]=f[2]=1;    for(register long long i=3;i<=M;i++)        f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod*(i-1LL)%mod;}int main(){    init();    read(T);    while(T--){        read(n),read(m);        printf("%lld\n",(f[n-m]*fac[n]%mod*inv(fac[n-m])%mod*inv(fac[m])%mod)%mod);    }    return 0;}