浮点数

一、浮点数

1.1 单精度浮点数

1.1.1 定义及计算方法

单精度浮点数由32位构成：

• 符号位，1 bit，表示正负，0代表正，1代表负；
• 指数位，8 bits，可以是补码；或者0到255，0~126代表负，127代表0，128~255为正（即指数需减去偏置127）；
• 有效数位，23 bits。有效数位是24位，实际储存23位。有效位数左侧的1不会存储，它一定存在（二进制的第一个有效数字必定是1）。

value=(−1)sign×2exponent−127×(1+fraction)
sign=+1
exponent=(−127)+124=−3
fraction=1+2−2=1.25
value=(+1)×1.25×2−3=+0.15625

1.1.2 单精度浮点数的表示范围：

负数：−3.402823×1038 到−1.401298×10−45，
正数：+3.402823×1038 到+1.401298×10−45

1.2 双精度浮点数

1.2.1 定义及计算方法

双精度浮点数由64位构成：

• 符号位，1 bit，0代表正，1代表负；
• 指数位，11 bits。
  类比整型使用所有位为0的数字表示数值“0”，双精度浮点数表示0时指数部分也为。若如此，可能会产生冲突，例如全0的数字可以表示“0”，也可能表示1×20=1。因此此处规定：
  0x000：用来表示带符号的0（尾数为0）或者下溢数（尾数不为0）；
  0x7FF：用来代表无穷大（尾数为0）或NaN（尾数不为0）；
  其他：代表2exponent−0x3FF
• 尾数：52 bits。
  二进制的科学计数法为：Mantissa×2exponent。为了最大限度提高精确度，将尾数规范化，使其处于1到2之间，便可省去最高位的1。例如：
  二进制的 11.101×21001可以规格化为 1.1101×21010，存储时尾数只需要存储1101即可；
  二进制的 0.00110011×2−1001可以规格化为 1.10011×2−1100，存储时尾数只需要存储10011即可。
  于是，规范化的表达形式为：(1.mantissa)×2exponent。

综上述，一个双精度浮点数所代表的数值为：
−1sign×2exponent−0x3FF×1.mantissa

1.2.2 表示范围

可以表示十进制的15或16位有效数字，其可以表示的数字的绝对值范围大约是[2.23×10−308,1.79×10308].

二、参考

1. 单精度浮点数，维基百科
   https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%96%AE%E7%B2%BE%E5%BA%A6%E6%B5%AE%E9%BB%9E%E6%95%B8
2. 双精度浮点数，维基百科
   https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E7%B2%BE%E5%BA%A6%E6%B5%AE%E9%BB%9E%E6%95%B8